0269

271

§ 4. Własności szeregów zbieżnych

Twierdzenie. Szereg utworzony z tych sum (A*) (aj+ ... +a_Bi)+(a_Bi+i+ ... +a_Bj)+ ... +(«»,_,+!+ ••• +<*»,)+

jest zawsze zbieżny i ma tę samą sumę co szereg wyjściowy. Innymi słowy, szereg zbieżny ma własność łączności.

Rzeczywiście, ciąg sum częściowych nowego szeregu

A* A*    A*

yijj    > •••>    •••

nie jest niczym innym jak podciągiem

AA    A

•••» •••

sum częściowych ciągu wyjściowego. Przez to [40] jest nasze twierdzenie udowodnione.

Widzimy na razie pełną analogię z sumami zwykłymi, analogia ta jednak zostanie zakłócona, jeżeli spróbujemy zastosować własność łączności, że tak powiemy, w przeciwną stronę. Jeżeli dany jest szereg zbieżny (A*), którego wyrazy — każdy z osobna — są sumą skończonej liczby składników, to opuszczając nawiasy otrzymamy nowy szereg, który może się okazać rozbieżny.

Oto proste przykłady: szeregi

(1-1)+(1-1)+(1-1)+... a 0+0+0+ ... - 0 1—(1 — 1)—(1 — 1)— ... = 1-0-0- ... = 1 są oczywiście zbieżne, tymczasem szereg otrzymany z nich po otwarciu nawiasów

1 — 1 + 1 —1 + 1 —1+ ...

jest rozbieżny.

Oczywiście jeżeli po opuszczeniu nawiasów otrzymamy szereg (A) zbieżny, to jego suma będzie taka sama jak suma szeregu (A*). Wynika to z tego, co udowodniliśmy wyżej.

Przy pewnych założeniach możemy z góry zagwarantować, że szereg (A) będzie zbieżny. Najprostszym takim przypadkiem jest ten, kiedy wszystkie składniki w obrębie każdego nawiasu w (A*) mają taki sam znak (¹).

Rzeczywiście, wówczas przy zmianie n od n_k-i do n_k suma częściowa A„ będzie się zmieniała monofonicznie, będzie zatem zawarta między A„_{t i} = A\~_k i A„_k = A\. Dla dostatecznie dużego k te ostatnie sumy różnią się dowolnie mało od sumy A* szeregu (A*), jest tak więc także dla sum A_n, gdy n jest dostatecznie duże, a więc A_n~* A*. Z tej uwagi będziemy dalej często korzystali.

Rozpatrzmy teraz następujący:

^2, /_ j\El/7

Przykład. Wykazać zbieżność szeregu 2_, ——--

it-i    ^

Tu mamy najpierw trzy wyrazy ujemne, za nimi następuje 5 wyrazów dodatnich itd. Jeśli połączymy każdą taką grupę wyrazów w jeden wyraz, otrzymamy szereg

(’) Znak ten w różnych nawiasach może być różny.