0369

§ 1. Zbieżność jednostajna 371

Kryterium Dirichleta. Niech sumy częściowe B„(x) szeregu (B) będą wspólnie ograniczone dla dowolnych x i n:

|B„(x)| ^ M,

a funkcje a„(x) (dla każdego ar) tworzą ciąg monofoniczny zbieżny do 0 jednostajnie h’ obszarze 9T. Wtedy szereg (W) jest także zbieżny jednostajnie w tym obszarze.

Tu też dowód prowadzimy tak samo jak w 384. Zauważmy tylko, że wskaźnik N można wybrać w sposób niezależny od ar właśnie z uwagi na jednostajną zbieżność a„(x) doO.

W praktyce często zamiast ciągu funkcyjnego (a„(x)} występuje zwykły ciąg liczbowy

00    00

{a„} lub zamiast szeregu funkcyjnego £ b„(x) zwykły szereg liczbowy £ b_n. Należy za-

1    1

uważyć, że ten przypadek jest oczywiście szczególnym przypadkiem rozpatrzonego po-

00

przednio; przecież ciąg zbieżny {a„} i szereg zbieżny £ b„ można uważać za jednostajnie

ł

zbieżne (nie ma zależności od ar).

Na przykład, jeżeli {a_n} jest ciągiem liczb dodatnich zbieżnych monotonicznie do 0, to oba szeregi

y¹ a„ sin nx, a_n cos nx

fl-1    Ipl

są według kryterium Dirichleta szeregami jednostajnie zbieżnymi w dowolnym przedziale domkniętym nie zawierającym punktów postaci 2kn (gdzie k = 0, ±1, ±2,...). Wynika to stąd, że na przykład [patrz 385, 2)]:

1

sin ix =

COSy X — COS (n+ y ) X

2 sin y x

i-i

|sin y or|

W wymienionym przedziale siny x nie jest równy 0, a więc sumy są wspólnie ograniczone przez liczbę niezależną od x.

Dalsze przykłady zastosowania kryteriów jednostajnej zbieżności znajdzie czytelnik w ustępie 439 i następnych.

§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu

431. Ciągłość sumy szeregu. Przechodzimy teraz do zbadania, jakie własności funkcyjne ma suma szeregu utworzonego z funkcji, w zależności od własności jego wyrazów. Uprzednio już mówiliśmy o równoważności teorii ciągów i teorii szeregów nieskończonych. W wykładzie zajmiemy się raczej szeregami, ponieważ w zastosowaniach spotykamy prawie wyłącznie właśnie szeregi nieskończone. Przeniesieniu rozważań o szeregach funkcyjnych na przypadek ciągów funkcyjnych poświęcimy ustęp 436.

Wprowadzone poprzednio pojęcie zbieżności jednostajnej będzie odgrywało zasadniczą rolę w całym dalszym wykładzie, a jego znaczenie wyjdzie na jaw szczególnie wyraźnie.

Zaczniemy od kwestii ciągłości sumy szeregu, którą poruszaliśmy już w ustępie 427.

24*