0581

§ 1. Teoria elementarna

583

16) Pokażemy drugi sposób obliczenia całki

/-/    a*.

t x?i-x²

którą obliczyliśmy w zadaniu 9) różniczkując względem parametru. Zastępując w wyrażeniu podcałko-arc tg *

wym ¹ przez równą mu całkę

x

i

arctgjr _ f dy x    J \+x²y² ’

O

możemy przedstawić l w postaci całki iterowanej

/= f_<J*_ f_ŚL_.

J l/i—x² ^ I +x²y²

Stosując twierdzenie 4* zmienimy kolejność całkowania

i i

/= fdy f---------— [-JŁ—-JL |„(n-/2).

o O 0+x²y²)y\-x^{2    2} I /T+p"    ²

17) Obliczyć za pomocą całkowania pod znakiem całki całkę n/2

a+b sin x _# dx o

Przedstawmy funkcję podcałkową w postaci całki

i

X- f In    (a > b > 0) .

J a—b sin jr sin *

1 In~~±r    = lab J _rA_:i-

o—6 sin*    ./ a²—b²y² sin .v

sin x

Wobec tego

AT - 2ab f dx [    - ^(,L

J    J a²—b²y* sui²x

o    o

Zmieńmy teraz kolejność całkowania korzystając z twierdzenia 4. Otrzymujemy

i n/2

■ '*- - ■

J J    — b²y² sin²*

Ponieważ

n/2

f _dx____5t_

J a²—b²y² sin²*    1a^a²—b²y² ’

więc ostatecznie

K - "b f —

}(a²—b²y²

. b

■ r arc sin —. a