str086 (5)

86 !. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

5. Obliczyć całki: 2*

a)

Ii

dx

(2 +cos x)²

1    , a>b>0,

J« +

o

2    X

cos² 3x dx

b)

o

2n

2n

J

o

2*

dx cos x+a'

, a> 1,

P sinxdx

J a + b cos x

o

2 x

Ji=

2a cos 2x + a

6. Obliczyć całki:

d)

b)

Jl=

2a cos(x —<p) + «

dx.

7. Określić liczbę pierwiastków leżących wewnątrz koła |z| < 1 następujących równań:

a)    2z⁵—z³ + 3z²—z+8 = 0,

b)    z⁷ —5z⁴+z² —2 = 0,

c)    z⁹—2z⁶+z² — 8z—2 = 0,

d)    z⁸—4z⁵+z²— 1 = 0,

e)    z⁴—5z= 1 = 0.

8. Wykazać, że jeżeli F(z) jest funkcją holomorficzną w kole |z| < 1 i |F(z)| < 1, to równanie F(z) = z ma w kole |z| < 1 tylko jeden pierwiastek.

Odpowiedzi

1. Wskazówka: por. zad. (10.1).

a)    z, = 0, z₂ = 1, z₃ = — I, res_Sl/(z) = 1, res.₂/(z) = res„/(z) = -i,

b)    z* = (2fc+l)iit (fc = 0, ±1, ±2, ...), res._k/(z) = -1,

c)    z_k = kn (k = 0, ±1, ±2, ...), res_Xkf{z) = 0,

d)    z₀ = 0, res₂₀/(z) = 1,

e)    z₀ = -1, res_J0/(z) = 1/e,

f)    z i = 1, z₂ = 2, res.,/(z) = 1, res _X1/(z) = -1,

g)    z₀ = 1, res.₀/(z) = 1,

h)    z* = 2kiti, res._t/(z) = -1 (A: = 0, ±1, ±2, ...),

i)    z_Ł = i, z₂ = res_Xl/(z) = —&i, res_Z2/(z) = ■&/.