0645

647

§ 5. Całki Eulera

Stosując ten wzór wielokrotnie, otrzymujemy

(10)    r(a + n) = (a + n-l)(a + n-2) ... (a + 1) aF(a).

W ten sposób obliczenie wartości funkcji JT dla dowolnie dużej wartości argumentu można sprowadzić do obliczenia wartości tej funkcji dla wartości argumentu mniejszej od 1.

Jeśli we wzorze (10) przyjmiemy a — li skorzystamy z tego, że

CO

(11)    /’(1) = / e~*dx = 1 ,

O

to okaże się, źe

(12)    r(n + \) — nl.

Funkcja r jest zatem naturalnym uogólnieniem na zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych funkcji «! określonej jedynie dla naturalnych wartości argumentu n.

3° Przebieg zmienności funkcji F. Obecnie możemy zbadać przebieg zmienności funkcji F(a), gdy a wzrasta od 0 do oo.

Z (11) i (12) mamy: T(l) = 7’(2) = 1, a więc zgodnie z twierdzeniem Rolle’a między liczbami 1 i 2 powinien leżeć pierwiastek a₀ pochodnej /" (a).

Pochodna ta jest stale rosnąca, ponieważ druga pochodna F"(a) jest — jak widać z wzoru (8*) — stale dodatnia. Wobec tego dla 0 < a < a₀ pochodna F'(a) jest ujemna i funkcja r (a) maleje, natomiast dla a₀ < a coojest r'(a) > 0, tym samym F (a) rośnie; w punkcie a — a₀ jest minimum. Obliczenia, których tutaj nie przytoczymy, dają

a₀ = 1,4616..., min r(a) = r(a₀) = 0,8856 ...

Warto jeszcze znaleźć granicę funkcji F(a), gdy a dąży do 0 lub do oo. Z (11) [oraz z 1°] wynika, że

Ha) =

J’(a+D

+ 20

dla a -* +0. Z drugiej strony, wobec (12)

r(a) > n!, jeśli tylko a > n +1, a więc F(a) -► +oo, gdy a-> H-oo.

Wykres funkcji F(a) jest przedstawiony na rysunku 64. na str. 648. (W chwili obecnej interesuje nas ta część wykresu, która leży w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych).

4° Związek między funkcjami B i jT. Aby ustalić ten związek, dokonamy podstawienia x = ty (t > 0) przekształcając (6) do postaci

(13)    / y-*_e~»dy.

¹    o

Pisząc w tym wzorze a+b zamiast a oraz 1 + f zamiast t otrzymujemy

= f v«+»-i_r(ndy

(l+tr⁶    J ^}    y