0673

675

§ 5. Całki Eulera

Gdy n = O, otrzymujemy stąd znany już nam wzór

j lnsinę><fy> = — — In 2.

Gdy n>l, otrzymujemy nową całką

T***+1"sin,* = JL. J2a=m. l\--L + -L - ... - -i- -,_n2\.

I * ^{Y Y} 2    (2n)!!    \    2    3    2i»    /

6) Obliczyć całki (a>0, p>0)

m= f e~"x^p~‘ cos bx dx, v = { e~^,xx^p~^l sin bx dx.

0    o

Zadanie to rozwiązuje się tak samo, jak zadanie 8) z ustępu 533. Dla funkcji w = «+t>/ zmiennej b otrzymuje się, podobnie jak i tam, równanie różniczkowe

dw

które można napisać w postaci

dw    i

~jr = P*-rr

db    a—bi

Łatwo sprawdzić, że z tego równania wynika, że

w (a—biY — c — const (')

Przyjmując tu b = 0 znajdujemy c = r(p). Wobec tego

"    ^{’*^v~    {“*('““I) +'('■v)[•

Przyrównując teraz odpowiednio części rzeczywiste i urojone otrzymujemy wreszcie

sin pO,

r(_P)

(a²+b¹Y>¹

gdzie dla skrócenia oznaczyliśmy arc tg — — 6.

a

Zastępując ]/a³+ó² przez 6/sin 0 lub przez a/cos 0 można otrzymanym wynikom nadaić następującą postać.

u = —^ sin^p0 cos pO = Hisl cos^r6 cos pO, v = Hiźl. sin'0 sin pO = -EIe! cos^p6 sin p8. b”    a^p    b”    a^p

Proponujemy czytelnikowi obliczyć stąd całki A i B z zadania 3) przyjmując p = 1 — j i przechodząc

z a do granicy 0 (przy ó>0 kąt 0 = arc tg — będzie wtedy dążył do ).

a    2

Różniczkując całki u, v względem p można uzyskać wiele nowych całek; pozostawiamy to czytelni

kowi.

(') Przez (a+biy rozumiemy tutaj (i w dalszym ciągu) tę gałąź funkcji potęgowej, która dla b — 0 jest równa dodatniej liczbie rzeczywistej a^p.