0681
683
§ 5. Całki Eulera
otrzymujemy
(43) log r(l+a) = -log (l+a)+C, a+C2 a*-C3 a3+C* a4- ...
Zmieniając tu a na —a dostaniemy rozwinięcie
log.T(l— a) = —log (1—a)—Ci a+C2 a2 + C3 a3 + C* a4+ ... Odejmiemy je teraz od poprzedniego rozwinięcia. Ponieważ zgodnie z regułą dopełnienia jest
r (1 —a) r (1 -ł-a) = —
log T (1-a) =■ -logr(l+a)+log-^—,
sin ok
więc ostatecznie
(44) logr(l+a) = 4-log^^-4-lo8-^:£- + C1a-C3a3-C5ai- ...
2 sinan 2 1—a
Legendre podał wartości współczynników Ca dla (b< 15) i ich logarytmy oraz obliczył na podstawie wzorów (43) i (44) logarytmy dziesiętne funkcji r (o) dla a od 1 do 2 w odstępach co 0,001 z dokładnością do siedmiu, a następnie do dwunastu miejsc dziesiętnych.
Kończymy w ten sposób badanie funkcji gamma. Wychodząc z jej przedstawienia w postaci całki z parametrem a nie tylko poznaliśmy jej głębokie własności, ale również nauczyliśmy się obliczać jej wartości. Opanowaliśmy tę nową funkcję w tym samym stopniu, co funkcje elementarne.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
665 § 5. Całki Eulera Otrzymujemy stąd znany nam już wzór Weterstrassa [por. 402, (16)], dający
117 Dzieląc zależności (5.23) i (5*24), po przekształceniu i zlogarytmowaniu otrzymamy: (5.25) + 1 l
oraz log Fy = log C2 + uz log p (6.30) Hys. 6.4. Typowy przebieg zależności Fy = f
647 § 5. Całki Eulera Stosując ten wzór wielokrotnie, otrzymujemy (10) r(a + n) =
675 § 5. Całki Eulera Gdy n = O, otrzymujemy stąd znany już nam wzór j lnsinę><fy> = — — In
679 § 5. Całki Eulera Dla znalezienia prostszej postaci wzoru (35) skorzystamy z otrzymanej całki or
107 7.2. Parametry rozkładów dwuwymiarowych Przechodząc na całki iterowane otrzymujemy + 2 I xdx j y
101(1) Po obliczeniu całki ze zmienną t szukane wyrażenie dla całki wyjściowej otrzymamy wracając w
645 $5. Całki Eulera Rozpoznajemy tu obliczoną już dawniej całkę, również związaną z nazwiskiem
649 $ 5. Całki Eulera spełnione są wszystkie warunki podane we wniosku z ustępu 521; funkcja ta jest
651 § 5. Całki Eulera Zamieniając a na 1 —a możemy napisać i R0 = / ln ^(l-a) da. O Dodając stronami
653 § 5. Całki Eulera Wreszcie, wprowadźmy jeszcze funkcję ciągłą A (a) = Ł (a); Spełnia ona
655 § S. Całki Eulera lub, uwzględniając równość (22), In (n—1) < In *fo+»>-fa(n-l)! < ln
tak że § 5. Całki Eulera 659 1 2E—K 2/2 J Stąd szukana wartość stałej c = — 8 1
661 S 5. Całki Eulera Najprościej jednak jest przyjąć za punkt wyjścia następujące rozważania.
więcej podobnych podstron