0643

645

$5. Całki Eulera

Rozpoznajemy tu obliczoną już dawniej całkę, również związaną z nazwiskiem Eulera [por. 519, 4 (a) lub 522, 1°]. Podstawiając jej wartość dochodzimy do wzoru

(5)    H (u» 1—<0 =    (0<«<1).

sin ok

Jeśli, w szczególności, przyjmiemy a= 1— a = -j, to dostaniemy (5a)    B(±,j-) = 7v.

Poprzestaniemy na tych własnościach funkcji B, gdyż — jak to zaraz zobaczymy — wyraża się ona bardzo prosto przez inną funkcję — „gamma”, która będzie głównym tematem rozważań niniejszego paragrafu.

530. Całka Eulera drugiego rodzaju. Tę nazwę nadał Legendre godnej uwagi całce

00

(6)    T(a) = f x^a-¹e~^xdx,

o

która jest zbieżna dla dowolnego a > 0 [483, 5 (c)] (‘) i określa funkcję r („gamma”) Funkcja r, obok funkcji elementarnych, jest jedną z najważniejszych dla analizy i jej zastosowań. Dokładne zbadanie własności funkcji T biorące za podstawę jej całkową definicję (6) będzie zarazem pięknym przykładem zastosowania wyłożonej wyżej teorii całek zależnych od parametru.

W ustępach 402,10), 408 i 441, 11) z rozdziałów XI i XII spotykaliśmy już funkcję r, ale określaliśmy ją inaczej, wykażemy więc przede wszystkim tożsamość obu definicji (oczywiście dla a > 0).

Przyjmując w (6) jc = ln — otrzymamy

z

/»= / (lny)' * dz.

Jak wiadomo [77, 5) (b)]:

ln — = lim n (I-c¹⁷*),

Z *»oo

przy czym wyrażenie n (1—z^1,K) przy wzrastaniu n dąży do swej granicy rosnąc (²). Tak więc na podstawie 518 zachodzi równość

i

r(o) = lim n^a~^l J (l — z^1/n)^a-¹dz ,

O Dla o<0 całka jest rozbieżna.

(²) Można się o tym przekonać metodami rachunku różniczkowego rozpatrując wyrażenie jako funkcję a.