0651

653

§ 5. Całki Eulera

Wreszcie, wprowadźmy jeszcze funkcję ciągłą

A (a) = Ł'(a);

Spełnia ona warunki

(I'") A (a+1) = A (a) i <11'") A (a)+A (a+ |) = 2A (2a) .

Pisząc a/2 zamiast a otrzymamy z (II'")

Jeśli w tym wzorze znów weźmiemy najpierw a/2, a następnie (a+l)/2, zamiast a i dodamy otrzymane równości, to będziemy mieli

Łatwo jest udowodnić indukcyjnie ogólny związek

Dla każdej wartości a sumę po lewej stronie można uważać za sumę całkową dla całki

fAMdx(').

o

Zatem

»¹-»    .    . i

J(a) = lim-|_r2]d(-^-J = J A (x)dx ^ L (1)—i, (0) = 0

[na mocy (I")]. Wobec tego, L (a) = const, a więc również M (a) = const. Widzieliśmy jednak, że Af(|) = = 1, tak że M (a) = li J’(a) s 0 (a), c.b.d.o.

Zauważmy na zakończenie, że założenie różniczkowalności jest tutaj istotne i nie można go pominąć. Jeżeli np. przyjmiemy

L (o) = ^ ~ sin (2" 7ra) ,

B—i

to funkcja L (a) będzie ciągła i będzie spełniała warunki (I") i (II"). Będzie przy tym L (0) = 0 i L (j) = = tak że L (a) nie zredukuje się do stałej!

533. Inna charakterystyka funkcyjna funkcji r. W poprzednim ustępie zdefiniowaliśmy funkcję r (a) jako jedyną funkcję ciągłą wraz z pochodną spełniającą równania funkcyjne (I) i (II) i nie równą zeru (dla a> 0). Obecnie podamy prostszą definicję funkcji r (a) za pomocą jednego tylko równania funkcyjnego (I), dodając jednak jeszcze warunek „wypukłości logarytmicznej”, którego sens zaraz wyjaśnimy.

W ustępie 141 podaliśmy definicję funkcji wypukłej /(.v). Funkcja dodatnia f(x) określona w przedziale SC nazywa się logarytmicznie wypukła w tym przedziale, jeżeli funkcja ln /(¹) jest funkcją wypukłą. Ponieważ

1

Uwzględniając przy tym okresowość funkcji A (a) wynikającą z (I'").