0669

§ 5. Całki Eulera

671

Wówczas funkcja

P(a) - J X-^le~*dx = f x^ ~ j-^-** ^dx =

O    0    0

«+#

n! J    Ł—i a! o4

daje się w sposób naturalny rozszerzyć na całą płaszczyznę zmiennej zespolonej jako funkcja meromor-ficzna, mająca bieguny jednokrotne w punktach 0, —1, —2, .... —n, ... Punktom tym odpowiadąją

residua 1, — 1, -j,..., (—1)* i,... Druga funkcja

00

Q (a) — J x"~‘e~'dx

i

ma sens również dla zespolonych wartości a i jest funkcją całkowitą.

Własności funkcji r(a) udowodnione dla rzeczywistych dodatnich wartości argumentu przenoszą się automatycznie na całą płaszczyznę na podstawie znanego twierdzenia o funkcjach analitycznych (mamy tu na myśli własności wyrażające się za pomocą równości między funkcjami analitycznymi). W szczególności z wzoru na dopełnienie (1S), który można napisać w postaci

—^— = — sinmr-rCfl) = — sin tm [P(a)+Q (a)] (*),

.T(l— a)    Tc    rc

widać od razu, że funkcja 1/r (a) jest holomorficzna w całej płaszczyźnie. Tak więc r(a) nie ma miejsc zerowych.

Wspomnijmy na zakończenie, że zarówno wzór Eulera-Gaussa (7), jak i wzór Weierstrassa (30) można z powodzeniem przyjąć za podstawę dla zdefiniowania funkcji jT (a) od razu w całej płaszczyźnie.

539. Obliczanie pewnych całek oznaczonych. Zajmiemy się teraz kilkoma całkami, przy obliczaniu których korzysta się z własności funkcji Z⁷ (o).

1) Różniczkując względem a wzór

CO

r (a) — J x“~^le~^xdx,

O

otrzymaliśmy w 531, 1° wzór (8)

00

r\a) — J x‘~^le~^x ln x dx . o

Dla 0=1 otrzymamy stąd

00

J e~^x ln x dx = — C,

0

ponieważ /''(l) = — C.

Podstawienie x= —In u daje interesującą całkę

1

Jln (—ln u) du = — C. o

(‘) W punktach, w których P (a) ma biegun, sin an przyjmuje wartość 0.