1088

Przykład 4.17.

Zbadano czas dojazdu do pracy (w minutach) dwóch grup pracowników i otrzymano następujące wyniki:

' Grupa 1:15.12 .8 10. 9 .14.10. 8. 7. 5. 8.16;

Grupa 2:15.10. 8, 14.12. 5. 8. 9.10.15. 7. 5, 8.

Wyznacz wartość kwartyla pierwszego i trzeciego dla obu badanych grup.

Rozwiązanie

Przed przystąpieniem do obliczeń musimy dane uporządkować rosnąco. I tak:

Grupa 1:
5 7	8	8	8	19 10	10	12	14	15	16
X, Xj	*3	*4	*5	*6 *7 Me	x$	*9	*10	*n	*12
Grupa 2:
5 5	7	8	8	8 [9j	10	10	12	14	15
x, *2	*3	*4	*5	*« *7 Me	*«	**	*10	*n	*12

Dalszy sposób postępowania zależy od tego. czy liczba obserwacji jest liczbą parzystą czy nieparzystą. Dla grupy 1 mamy 12 obserwacji, dlatego dzielimy zbiorowość na dwie równe części (ponieważ wiemy, że mediana to element, który znajduje się dokładnie w środku). I tak. wartość kwartyla pierwszego obliczymy jako medianę z następujących elementów:

Qi

5

*/

7 *2

8

8

*4

8

Xj

9

x_f

Korzystając ze wzoru 4.14, obliczamy:

*****

_ 2

_ 2

^X‘^+Xf*

2 2

Wartość kwartyla trzeciego obliczymy, jako medianę z następujących elementów:

Q3

10

xj

10

*»

12    14

X_t

x 10

15

Xll

16

xn

Korzystając ze wzoru 4.14, obliczamy:

12 + 14    26

ft-

= — = 13. 2

Dla drugiej grupy pracowników mamy 13 obserwacji. Mediana dla całej zbiorowości jest siódmym elementem uporządkowanego szeregu i wynosi 9, bowiem korzystając ze wzoru 4.13 obliczmy:

Me — *N+\ —    ^— *7 ~

2 2

Trudno będzie nam jednak podzielić zbiorowość na dwie równe części, ponieważ liczba obserwacji jest nieparzysta.

Kwartyl pierwszy, w tym przypadku, obliczymy jako medianę pierwszych siedmiu elementów, a kwartyl trzeci, jako medianę ostatnich siedmiu elementów uporządkowanego szeregu. I tak:

Qi	5 5	7 OD	8	8	9
	X\ x2	*3 *4	*5	*6	*7

Q\ ~ ^XN+l ” *7+1 ^— *4 “ 8 •

2 2

Kwartyl trzeci wyznaczamy następująco:

10	10	12	14	15 15
*8	*9	*10	*n	*12 *13
	A	= 12

Kwartyl pierwszy dla pierwszej grupy pracowników wynosi 8, co oznacza, źe 25% badanych pracowników przeznacza na dojazd do pracy mniej niż 8 min., a 75% przeznacza na dojazd do pracy więcej niż 8 min. Kwartyl trzeci dla pracowników należących do grupy pierwszej wynosi 13, co oznacza, że 75% pracowników przeznacza na dojazd do pracy mniej niż 13 min., a 25% więcej niż 13 min. Wartość kwartyla pierwszego dla drugiej grupy pracowników wynosi 8. a kwartyla trzeciego 12. Interpretację otrzymanych wyników pozostawiamy czytelnikom.

Wyznaczanie kwartyli w przypadku danych przedstawionych w postaci szeregu rozdzielczego punktowego sprowadza się do odszukania numeru kwartyla w liczeb-nościach skumulowanych i wskazania wartości poszukiwanego kwartyla. Numer kwartyla pierwszego i trzeciego wyznaczamy korzystając ze wzorów 4.17 i 4.18:

N/V,=

a

4* W + l

gdy N jest parzyste gdy N jest nieparzyste

(4.17)

115