1143

nośnic wpływu poszczególnych składowych szeregu czasowego na prognozowaną zmienną oraz wzajemnych relacji tych składowych, konstruowany jest model. Może on mieć różną formę, lecz na ogól przyjmuje się model addytywny bądź multiplikatywny.

W modelu addytywnym zakładamy, że obserwowane wartości są sumą niektórych lub wszystkich składowych szeregu czasowego.

Wykorzystując fakt. że jedyną zmienną objaśniającą w modelu jest zmienna czasowa, nasz model odzwierciedlający szereg czasowy z trendem, sezonowością i wahaniami koniunkturalnymi można zapisać jako:

y, =/(0+*(0+A(0+2„    (8.7)

gdzie:

f(t) - funkcja trendu,

g(t) - funkcja czasu charakteryzująca wahania sezonowo,

h(ł) - funkcja czasu charakteryzująca wahania cykliczne,

Z, - składnik przypadkowy.

Każda z opisanych wyżej składowych obu równań jest wyrażona w tych samych jednostkach miary co zmienna prognozowana. Zakładamy, że nic występują interakcje pomiędzy poszczególnymi składowymi szeregu - są one niezależne. W procesie dekompozycji szeregu czasowogo, wahania okresowo (cykliczne, sezonowo) oraz przypadkowo są wyrażone jako odchylenia od tendencji rozwojowej.

Biorąc pod uwagę multiplikatywny model przyjmuje się. że obserwowane wartości prognozowanej zmiennej są iloczynem wszystkich lub tylko niektórych składowych szeregu czasowego. Jeżeli w szeregu czasowym nie ma wahań koniunkturalnych, to postać modelu może być określona równaniem:

7,-r.ĄJ*    (8.8)

gdzie:

T, - tendencja rozwojowa zjawiska,

S, - wahania okresowa (wskaźniki sezonowości),

I, - wahania przypadkowa.

W równaniu (8.8) jeden z czynników - na ogół tendencja rozwojowa T_t - jest wyrażona w jednostkach zmiennej prognozowanej. Pozostałe elementy szeregu są w procesie dekompozycji wyrażone jako względne odchylenia bądź od tendencji rozwojowej, bądź od stałego (średniego) poziomu zjawiska.

Na ogół postępuje się w taki sposób, aby wyodrębnić jeden z elementów, eliminuje się dwa pozostałe. Rozpoczynamy od wyznaczenia głównej tendencji rozwojowej zjawiska (pierwszy etap dekompozycji szeregu czasowego).

Kolejny etap dekompozycji szeregu czasow-ego to analiza wahań okresowych. Do obliczenia wskaźnika wahań okresowych (tzw. wskaźnika sezonowości), wykorzystuje się w^rartości szeregu czasowego empirycznego oraz szeregu wygładzonego metodą mechaniczną (np. średnich ruchomych) lub metodą analityczną. Zakładając, że szereg czasowy wykazuje wahania okresowe, i że w każdym cyklu jest k faz wahań, musimy najpierw wygładzić szereg, a następnie uwolnić go od trendu. W tym celu wyrazy szeregu empirycznego Y\ dzielimy przez odpowiadające im wyrazy' szeregu wygładzonego T,.:

S.I.=y,    t=\,2,...n    (8.9)

przy' czym T, może być wyznaczone metodą analityczną, opisaną wcześniej (funkcja trendu) lub mechaniczną.

Otrzymane w ten sposób wartości S,J, zawierają wahania okresowe i przypadkowe. Można wyeliminować wahania przy padkowe z wielkości S,I, otrzymując w' ten sposób tzw. surowe wskaźniki wahań okresowych. W tym celu dla okresów' pochodzących z tej samej fazy wahań obliczyć średnie arytmetyczne z wyrazów S,I_f:

s,i, + s_si_s + s₉i₉

np. dla I kwartału S_x =---.

dla II kwartału S₂ =    + V* + ^0'io    (8.10)

3

gdzie:

Sj, S₂ - surow^re wskaźniki sezonowości odpowiednio dla pierwszego kwartału i drugiego kwartału,

S,J,. S₅I₅, SJ₉ - wartości czynnika sezonowo - przypadkowego dla pierwszego kwartału w^r trzech kolejnych latach,

SJ* SJ& S_IOI_IO - wartości czynnika sezonowo - przypadkowego dla drugiego kwartału w trzech kolejnych latach.

Surowe wskaźniki wahań okresowych informują, o ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest wyższy bądź niższy od poziomu jaki byłby osiągnięty, gdyby nic było wahań, a rozwój następowałby zgodnie z tendencją rozwojowy.

Załóżmy, że istnieje potrzeba wyznaczenia czystych wskaźników wahań okresowych (tzw. oczyszczonych wskaźników okresowości). W tym celu należy' surowe wskaźniki wahań okresowych podzielić przez średnią arytmetyczną wskaźników surowych. Suma tak otrzymanych wskaźników równa jest wówczas k, czyli liczbie faz wahań, czego nie spełniały surowe wskaźniki sezonowości. Znając wartości wskaźników sezonow-ości można korygować prognozy uzyskane metodą ekstrapolacji funkcji trendu.

Przykład 8.3.

Liczbę zawartych małżeństw w województwie łódzkim w latach 2001-2003 prezentuje tablica 8.6. Na podstawie powyższych danych wyznacz wskaźniki sezonowości metodą mechaniczną.

225