36 37

3)    jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy (pomniejszymy, podzielimy lub pomnożymy) o pewną stałą, to średnia arytmetyczna będzie równa sumie (różnicy, ilorazowi lub iloczynowi) średniej arytmetycznej wyjściowych zmiennych i tej stałej;

4)    jeżeli liczebności poszczególnych wariantów cechy są jednakowe, to średnią arytmetyczną można obliczyć jako iloraz sumy wartości wariantów i ich liczby.

5)    suma wartości zmiennej jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości, czyli:

5>, = Nx\

im I

6)    na poziom średniej arytmetycznej silny wpływ wywierają wartości ekstremalne (skrajne), przy czym wpływ ten jest silniejszy w przypadku wysokich wartości zmiennej.

Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową tylko w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim zróżnicowaniu wartości zmiennej. W miarę wzrostu asymetrii i zróżnicowania rozkładu, a także w rozkładach bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna traci wartość poznawczą. Średniej arytmetycznej nic można obliczyć dla szeregu o otwartych przedziałach, jeśli przedziały te mają duże liczebności. Umownie przyjmuje się bowiem, że otwarte przedziały klasowe można zamykać wówczas, gdy liczba jednostek w tych przedziałach nie przekracza 5% liczebności całej populacji¹.

Średnia harmoniczna. Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych. W przypadku szeregów wyliczających obliczamy średnią harmoniczną według wzoru:

N

H «    (2.6)

gdzie H jest symbolem średniej harmonicznej.

Przy obliczaniu średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych (punktowych bądź przedziałowych) zachodzi konieczność zastosowania wag (uwzględnienia liczebności). Dla szeregów rozdzielczych punktowych średnią harmoniczną obliczamy następująco.

(2-7)

H

ti,

Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną obliczamy według wzoru (2.7), z tym że konkretne warianty cechy (*,) /astępujemy środkami przedziałów (jf,.).

Średnią harmoniczną stosuje się wówczas, kiedy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np. w km/h, kg/osobę, wagi /aś — w jednostkach występujących w licznikach tych jednostek względnych. Można tu wymienić np. takie zmienne, jak:

—    prędkość pojazdu (zmienna: w km/h, waga: w km),

—    gęstość zaludnienia (zmienna: w osobach/km^:, waga: w osobach),

—    spożycie artykułu X na 1 osobę (zmienna: w kg/osobę, waga: w kg).

Sposób obliczania średniej harmonicznej przedstawia poniższy przykład. Załóżmy, że gęstość zaludnienia w- dwu 60-tysięcznych miastach wynosiła odpowiednio: 400 osób/km² i 600 osób/km. Jaka była przeciętna gęstość zaludnienia obu tych miast?

Wykorzystując wzór (2.6) mamy:

H = _t ² _{ = jjj =    = 480 osób/km*'.

400 ⁺ 600 1200

Stosując średnią arytmetyczną do obliczania przeciętnej gęstości zaludnienia obu miast (wzór (2.1)) otrzymalibyśmy:

X =

400 + 600

2

= 500 osób/km'.

Wynik ten jest jednak nieprawidłowy. Każde z miast zajmuje bowiem (Niwierzchnię równą odpowiednio:

60000 osób : 400 osób/km^: = 150 km\ 60000 osób : 600 osób/knr = 100 km*.

Oba miasta, liczące łącznie 120000 osób, zajmują zatem powierzchnię J50 km². Wobec tego średnia gęstość zaludnienia w obu tych miastach jest równa:

37

1

Por. W. Feldman Staiyityka. SGPiS, Warszawa 1979, s. 45.