016(1)

istnieje taka wartość Zn zmiennej z, poczynając od której wszystkie następne wartości zmiennej są co do wartości bezwzględnej większe od N.

Jeżeli a jest granicą zmiennej x, to mówimy, że x dąży do a i piszemy: lim x = a lub x -* a.

Wielkość nieskończenie wielka z nie ma granicy, jednakże dla skrócenia sformułowań i zapisu mówimy umownie, że z dąży do nieskończoności lub że granica z jest równa nieskończoności,-i piszemy z -* oo lub lim z = oo.

Mówimy i piszemy też, że: z -* + oo, lim z =~-f po lub z -> — oo, lim z = — oo, jeżeli wszystkie wartości wielkości nieskończenie wielkiej z, poczynając od pewnej wartości zo, zachowują bądź dodatni, bądź ujemny znak.

Z definicji granicy wielkości zmiennej oraz z definicji wielkości nieskończenie małych i nieskończenie w ielkich wynika, że:

1)    granicą nieskończenie malej wielkości jest zero (a więc jeśli a jest wielkością nieskończenie małą, to lim a = O łub a -> 0);

2)    różnica zmiennej i jej granicy jest wielkością nieskończenie małą (a więc jeżeli lim x = a, to x—a = a);

3)    odwrotność wielkości nieskończenie wielkiej jest wielkością nieskończenie małą (a więc jeśli z -» oo, to j -* 0);

4)    odwrotność wielkości nieskończenie małej jest wielkością nieskończenie wielką (a więc jeżeli a -» 0, to -i- -* oo)*

Jeżeli f{x) -* b, gdy x -» a (nie przybierając wartości a), to liczbę b nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie a.

Granicę funkcji można określić również bez odwoływania się do pojęcia granicy zmiennej: liczba b nazywa się granicą funkcji f(x) dla x a (w punkcie a), jeżeli do każdej liczby e > 0 można dobrać taką liczbę 6 > 0, że f(x)—b | będzie mniejsze od e, gdy ' x—a\ dla x ^ a będzie mniejsze od <5.

Jeżeli liczba b jest granicą funkcji f(x) dla x dążących do a, to piszemy:

lim f(x) = b, gdy x dąży do a w dowolny sposób;

x-+a

lim f(x) = b, gdy x dąży do a z lew'ej strony, czyli tak, że jc jest stale

x—*a—0

mniejsze od a;

lim f(x) = b, gdy * dąży do a z prawej strony, czyli tak, że x jest stale większe od cr^l).

O Jeżeli a — 0, to zamiast 0 10 (lub 0—0) piszemy po prostu r0 lub —0.

Przy tym jeśli istnieje granica funkcji, gdy .v -> a w dowolny sposób, to również istnieją i mają taką samą wartość granice jednostronne tej funkcji, gdy .v -» a tylko z lewej lub tylko z prawej strony, a w ięc

jeżeli lim f(x) = b, to lim f(x) = lim f(x) — b

x—»ii    x f-a — 0    x—*a+0

Natomiast jeżeli granice jednostronne są różne lub gdy chociażby jedna z nich nic istnieje, to granica funkcji dla x -» a w sposób dowolny nie istnieje, czyli •

jeżeli lim f(x) -ł- lim /(a), to lim f(x) nie istnieje

x >a—0    x-rd + 0    x-*a

28. Biorąc/; = 0. 1, 2, 3, ....ułożyć tabelkę wartości zmiennych;

* = 1+0*1",    >•=—0,1-", z = (—0,1)", u = (— l)"-f 0,1"

oraz określić zachowanie się tych zmiennych przy n rosnącym nieograni-czenie, czyli dla /; -» oo

Rozwiązanie. Obliczając wartości zmiennych dla danych wartości n, otrzymamy następującą tabelkę:

71	0:	1;	2;	3;	4;	5;	...; n -> +co
X	2:	1,1;	1,01	1,001;	J,0001;	1,00001:		.t —► 13 0
y	-1;	10;	-100:	-1000;	-10000;	-100000;	•*• >	v -> — oO
Z	1;	■ 0,1;	0.01;	-0,001;	0,tX)01;	-0,00001;	...;	z —»• 0
U	2;	0,9:	1,01;	-0,999;	1.0001;	-0,99999;	...;

Z tabelki tej w'ynika, że:

1) Wraz ze wzrostem /; kolejne wartości zmiennej x dążą do jedności, zatem dla dostatecznie dużych n wartość bezwzględna różnicy x— 11 będzie mniejsza od dowolnie małej z góry przyjętej liczby dodatniej s. Udowodnimy to.

Niech dana będzie liczba r > 0. Biorąc x— 1 — 0.1" < f i logarytmując obie strony tej nierówności znajdujemy /; > lg | , co oznacza, że ¹ *—1|

będzie mniejsze od e, gdy tylko n będzie większe od lg . Wobec tego, zgodnie z określeniem I, zmienna a-ma granicę równą jedności: lim a - 1,

do której zmienna ta dąży ze strony prawej stale pozostając od niej większą, czyli zmienna monotonicznie maleje.

31