img346 (3)

Prawdopodobieństwo tego, że w kolejce będzie więcej niż 5 osób, wynosi około 0,26 i jest relatywnie niskie.

Prawdopodobieństwo tego, że kupujący w sklepie zmitręży w kolejce więcej niż t = t₀ jednostek czasowych otrzymuje się następująco:

p(t>t₀) = pe~^,o(ft~^X).

Na podstawie posiadanych przez nas informacji otrzymamy:

p (/ > 1)=0,8 e ~¹⁽³-¹²⁵ ~ ²-⁵> = 0,8e “°'⁶²⁵ = 0,428209142 » 0,43.

A zatem prawdopodobieństwo tego, że klient w sklepie będzie czekał dłużej niż 1 min, jest dość umiarkowane i wynosi około 0,43.

Na dodatkowo postawione pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kupujący będzie czekał dłużej niż 2 min, otrzymujemy następującą odpowiedź:

p (t > 2) = 0,8 e " ^{2<3> 125} “ ^2>5) = 0,229203837 « 0,23.

Porównując oba otrzymane prawdopodobieństwa stwierdzamy, że dłuższe oczekiwanie na obsługę w tym sklepie jest mało prawdopodobne.

4.3. Wielokrotne kanały obsługi

Zakładamy, że przybycia interesantów tworzą rozkład Poissona i znana jest stopa przybyć X. Klienci są kierowani do r równoległych kanałów obsługi, z których każdy charakteryzuje się wykładniczym rozkładem czasów obsługi oraz jednakową stopą obsługi p. Tworzą oni pojedynczą kolejkę i w odpowiednim momencie przechodzą do tego kanału obsługi, który jest w tym momencie wolny.

Na to, by możliwe było osiągnięcie stanu równowagi układu, musi zachodzić nierówność:

X<rp.

Prawdopodobieństwo tego, że w układzie oczekuje n = 0 klientów (brak kolejki), otrzymujemy ze wzoru;

P(n = 0) =

1

V Ź- 4- ^pr hi\ (r-p)(r-l)!

Przeciętną liczbę klientów oczekujących w kolejce oblicza się następująco:

p^r+1p(n = 0)

(r - p)²{r - 1)! ‘

Prawdopodobieństwo tego, że n klientów oczekuje w kolejce określa wzór:

P*p(n - 0)

dla n^r, dla n > r.

p{n) =

" nl

r^r~"pⁿp(n = 0)

Prawdopodobieństwo tego, że w kolejce oczekuje więcej niż « = «₀ klientów, gdy n₀^r— 1 określa wzór:

p(n>n₀)

rt-m _pno+i p(_n = 0)

(r ~ P)r\

Prawdopodobieństwo tego, że czas oczekiwania w kolejce jest dłuższy niż t₀, wynosi:

p(t>t₀)=p(n>r— 1) e^_'"^o('^,_p).

Kończąc ogólne rozważania dotyczące przypadku, w którym kolejka korzysta z kilku (r) kanałów obsługi, należy podkreślić, że zator jest wtedy dużo mniejszy, porównywalnie do sytuacji (te same wartości A oraz p), gdy do każdego z r kanałów obsługi tworzy się odrębna kolejka.

Przykład 29. W prywatnej przychodni lekarskiej czynne są dwa gabinety lekarzy internistów. Oszacowano średnie stopy przybyć i obsługi. Otrzymano: A = 3,8 pacjenta/godz., a p = 2,0 pacjentów/godz. Dokonać wszechstronnej analizy kolejek w przychodni:

a)    odpowiedzieć, czy system obsługi zmierza do stanu równowagi;

b)    obliczyć prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki:

c)    obliczyć prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać;

d)    obliczyć prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdzie się więcej niż 2 osoby,

e)    obliczyć prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać na przyjęcie dłużej niż 0,5 godz.;

f)    obliczyć przeciętną liczbę pacjentów oczekujących w kolejce na przyjęcie;

g)    ocenić sytuację z punktu widzenia właściciela przychodni.

Rozwiązanie

Ad a) A = 3,8; ^ = 2,0; p = 0,95; r=2. Sprawdzamy, czy zachodzi nierówność:

X<rp, 3,8 <4,0.

Powyższa nierówność wskazuje na to, że stan równowagi układu może być osiągnięty.

Ad b)

P(n = 0) = —

1

+_t_

i-o*!    (r~p)(r- 1)!

1 + 0,95 +

(0,95)²

1,05-1

= 0,355932 » 0,36.

149