Strona9

Definicja. Niech:

P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)

oznaczają trzy funkcje.określone i ciągle na piacie regularnym zorientowanym S postaci (2.1), zaś cos a, cos/?, cós y oznaczają cosinusy kierunkowe wektora normalnego do powierzchni S, skierowanego od strony ujemnej dó dodatniej. Przy tych założeniach całkę postaci:    <

j (2.2) '    $ J (P cos a + Q cos /? + R cos y) dS

‘    s    ;

' /

, nazywamy całką powierzchniową zorientowaną po piacie zorientowanym S. Uwzględniając, że między polem dS dowolnie małego elementu płata powierzchniowego S i polami dxdy, dydz, dzdx rzutu tego elementu odpowiednio na płaszczyzny Oxy, Oyz, Ozx zachodzą związki:    ' .

•    i •    f dx dy = dScos y,

< (2.3)    '    j dy dz — dS cos a,

‘    .i'    [ dz dx — dS cos /?,

-.całkę (2.2) można zapisać w postaci:

(2.4)    -    \\Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.    :

• i    '    •    *

“. ! Postacie (2.2) i (2.4) śą, równoważne. ^ł

i. i    .    •

k    .    '    •    *

,    Uwaga 1. Jeżeli zmieniamy stronę dodatnią płata na ujemną, to funkcje cos a, cos/?

i cosy zmieniają znak. Zmienif więc również znak i całka (2.2). Jeśli oznaczymy przez - -S.

! płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie niż S, to:

j (2.5) Jj (Pcosa-f Qco$ff+ Rcosy)dS=—$ $ (P cos a -f Q cos /? 4- R cos y) dS.

—i    s

i.    ‘    ■ •

Obliczanie całki powierzchniowej zorientowanej

Twierdzenie 2.1. Jeżeli funkcja R{x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym 5 o rów-

,* _:i naniu postaci (2.1) zorientowanym dodatnio,, to całka powierzchniowa zorientowana

•    typu;    .*■

S J R (x, y, Z) dx dy

s

istnieje i daje się wyrazić za pomocą zwykłej całki podwójnej wzorem.: (2.6)    $ \ R(x, y, z) dxdy = $ $ R[x, y, f(x, >•)] dxdy.

S    D

gdzie: D jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę Oxy.

Twierdzenie 2.1.' Jeżeli funkcja P(x, y, z) jest ciągła na piacie regularnym .? o równaniu postaci:

(2.n.

zorientowanym dodatnio (tzn, wektor normalny do .V tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox ka.t ostry), to:

(2.6')    $ 5 P o. y. ■) dy dz = 55 />[? (>•, z), y, z) dvdz.

s    o,

gdzie:    jest rzutem piata S na płaszczyznę Oyz.

Twierdzenie 2.1". Jeżeli funkcja Q(x, y, ;) jest ciągła na piacie regularnym S o równaniu postaci:

(2.1")    y = /;(.v,z) dla (,v,:) gD₂

dodatnio zorientowanym (tzn. wektor normalny dó S tworzy z. dodatnim kierunkiem osi Oy kąt ostry), to:

(2.6")

5 5 Q (■*. y. -) dz dx = 5 5 Q (.V, h ( V, :), ;} Jx dz

s

gdzie: D₂ jest rzutem piata S na płaszczyznę Oxz.

ZADANIA PRZYKŁADOWE

i

Zadanie 2.1. Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną:

i    '

7 = 5 5 (.v² + y² + dx dy,

5    ^

gdzie Ś jest górna stroną powierzchni kulistej o równaniu:

(1)    z = X^/Rⁱ~-x'~y\

Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że całkowanie ma być wykonane po dodatniej stronie powierzchni S_t o równaniu (I). Jak widać, rzutem tej powierzchni ua płaszczyznę Oxy jest kolo:    _v

'    D = |.v²    J?-{.

Stosując do całki J wzór (2.6) i uwzględniając, Ze w rozważanym zadaniu:

*(v, y, r) = .x² -f y² -f r²

oraz

/(•'•, y) l' A'² — a’ — y²,

otrzymujemy:

J = \ 5 (*² -r y²    C²) dx dy — (J [,\² y² (j R- — *■ — y²)²] dx dy =

s    ~i< ■

— J(~ (5 dx dy ^: aA¹⁴.

~L>

103