img057 (29)

62

Istotnym problemem wiążącym się z wykorzystaniem algorytmu iteracji prostej, jak również wiążącym się z wykorzystaniem każdego algorytmu iterowanego jest problem rozstrzygnięcia, czy oprócz wyznaczonego rozwiązania x danego równania (3.58) równanie to ma jeszcze inne rozwiązania. Jak wynika z twierdzenia Banacha, jeżeli odwzorowanie FQ jest odwzorowaniem zwężającym, to równanie (3.58) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Weryfikacja warunku (3.68) Lipschitza nie jest jednak z obliczeniowego punktu widzenia łatwa i nie jest ona na ogół wykonywana w trakcie analizy numerycznej złożonych układów równań.

Istnieje szereg twierdzeń dotyczących zagadnienia liczebności zbioru rozwiązań oraz przybliżonej lokalizacji rozwiązań pewnych typów układów równań. Są to na przykład układy równań (3.58) lub (3.59) z odwzorowaniem F(-) lub/(-), odpowiednio, wyrażającymi się przez wielomiany potęgowe. Pomimo dużej praktycznej przydatności, podane w powyższych twierdzeniach kryteria i oszacowania są wykorzystywane stosunkowo rzadko.

Możliwość wstępnej lokalizacji punktów będących rozwiązaniami jest istotna z praktycznego punktu widzenia. Od tego zależy zarówno zapewnienie zbieżności do punktów będących rozwiązaniami, jak i liczba niezbędnych do wykonania iteracji. Jak wspomniano wyżej, pakiety programowe ogólnego zastosowania na ogół nie zawierają procedur wstępnej lokalizacji rozwiązań. Procedury takie są jednak na ogół częścią wyspecjalizowanych programów analizy określonego rodzaju układów fizycznych. W szczególności większość programów analizy stałoprądowej sieci elektrycznych zawiera procedurę wstępnej lokalizacji punktów pracy sieci. W odniesieniu do analizy stałoprądowej sieci elektronicznych pomocna jest tu znajomość typowych wartości napięć na złączach i prądów w złączach elementów aktywnych i diod będących w stanie przewodzenia i prądów w złączach spolaryzowanych zaporowo. Istotna jest też możliwość wykorzystania w omawianym celu równań Kirchhoffa, które są równaniami liniowymi, a więc są postaci korzystnej z punktu widzenia wykonywania szacunkowych obliczeń.

W następnym podrozdziale przedstawiona zostanie modyfikacja w postaci (3.62) danego równania (3.59) prowadząca do algorytmu Newtona-Raphsona rozwiązywania równań algebraicznych. Jedną z cennych właściwości algorytmu Newtona-Raphsona jest to, że przy „naturalnych” założeniach odnośnie do rozwiązywanego równania ciąg kolejnych przybliżeń jest zawsze zbieżny do rozwiązania, jeżeli tylko punkt początkowy dla iteracji jest położony dostatecznie blisko punktu będącego rozwiązaniem. Zamieszczono przykłady, z których wynika, że w przypadku równań posiadających więcej niż jedno rozwiązanie, równanie zmodyfikowane do postaci wymaganej przez algorytm Newtona-Raphsona nie jest określone dla wszystkich wartości argumentu.

3.2.2. Metoda Newtona-Raphsona

Metoda Newtona-Raphsona [6, 7, 8, 19] jest rozszerzeniem na układy równań algebraicznych metody stycznych, przedstawionej w podrozdziale 3.1.4.

Koncepcja metody stycznych wynika z rozważań geometrycznych. Metoda polega na realizacji iterowanego ciągu aproksymacji wykresu funkcji _/(•) występującej w danym równaniu fix) = 0 prostymi stycznymi poprowadzonymi do wykresu funkcji _/(•) w kolejnych punktach otrzymanych jako punkty przybliżonego rozwiązania. Metoda stycznych wykorzystuje