img285 (6)

Rys. 5

Nas interesuje jednak nierówność 3x₁ + 9x₂^27 [warunek (1)], która spełniona jest przez punkty leżące na prostej a oraz w półpłaszczyźnie leżącej powyżej prostej a. Podobnie konstruujemy proste b i c dla warunków (2) i (3).

Warunki (1)—(3) muszą być spełnione jednocześnie. Oznacza to, że za rozwiązanie możemy wybrać tylko te spośród punktów, które stanowią iloczyn wyżej określonych zbiorów. Zbiór tych punktów jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (na rys. 5 obszar zakreskowany).

Rozwiązaniem optymalnym zadania będzie taki punkt obszaru rozwiązań dopuszczalnych, dla którego funkcja celu (5) przyjmie wartość minimalną. Rysujemy na początek linię jednakowego kosztu dla dowolnego F, np. F = 90, a więc

6xj + 9x₂ = 90.

Prosta ta przecina oś Ox_x w punkcie 90:6 = 15, a oś Ox₂ w punkcie 90:9 = 10. Łączącą te punkty prostą oznaczono na rysunku jako /'; linie równoległe do prostej /' położone na lewo w dół od niej będą liniami jednakowych kosztów niższych od 90. W zbiorze rozwiązań dopuszczalnych szukamy zatem punktu leżącego na możliwie najniższej linii jednakowego kosztu. Znajdujemy go, przesuwając równolegle prostą/', aż do momentu gdy zatrzymamy się na punkcie P z obszaru rozwiązań dopuszczalnych. Punkt ten leży na najniższej linii jednakowego kosztu. Punkt P ma współrzędne (3; 2), a zatem xj = 3, x₂ = 2.

Jeśli zatem kupimy 3 jedn. produktu P! i 2 jedn. produktu P₂, to koszt zakupu będzie minimalny i wyniesie 6 • 3 + 9 ■ 2 = 36 zł.

Przykład 5. Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę bydła rogatego. Zwierzętom należy w pożywieniu dostarczyć m.in. składnika odżywczego A w ilości co najmniej 60 jedn., zawartego w produktach P₂ i P₂ służących jako pasza. Produkty P[ i P₂ zawierają pewne ilości składników B i C. Ze względu na szkodliwe działanie tych składników, zwierzęta powinny je otrzymać w ograniczonych ilościach: składnika B co najwyżej 40 jedn., a składnika (' co najwyżej 36 jedn. Ponadto produktu P₂ należy dostarczyć w ilości co najmniej 10 jedn. Zawartość interesujących nas składników w poszczególnych produktach podano w tabl. 16.

Tablica 16

Składnik	Zawartość składnika w jednostce produktu
	Pt	P2
A	3	3
B	10	4
C	6	9

Wiedząc, że cena produktu P_t wynosi 400 zł za jednostkę, a cena produktu P₂ - 800 zł za jednostkę, określić wielkość zakupu produktów P_t i P₂, aby zrealizować wymagania co do składu paszy i aby koszt zakupu produktów był minimalny. Zbudować model matematyczny tego zagadnienia i przedstawić rozwiązanie metodą geometryczną.

Rozwiązanie. Przy oznaczeniu symbolem x₁ ilości zakupionego produktu Pj, a symbolem x₂ - ilości zakupionego produktu P₂ model zagadnienia będzie mieć postać:

(1)    3*! + 3x₂^60,

(2)    10xj+4x₂<40,

(3)    6.^ + 9x₂ ^ 36,

(4)

(5)    x₂^0,

(6)    F(x_x, x₂) = 400xj + 800x₂-> min.

Rozwiązanie graficzne powyższego modelu przedstawiono na rys. 6.

Model ten nie ma w ogóle rozwiązania - zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym. Jak można łatwo zauważyć, nie ma ani jednego takiego punktu, który jednocześnie spełniałby wszystkie warunki rozważanego modelu.

Pytania i problemy

1.    Podać ogólny zapis modelu matematycznego na przykładzie problemu diety.

2.    Zdefiniować zmienne decyzyjne i parametry w problemie diety.

3.    Podać interpretację ekonomiczną zagadnienia dualnego do problemu diety.

4.    Podać przykłady zastosowań modeli matematycznych mających strukturę problemu diety.

5.    Zinterpretować słownie następujący warunek, który dotyczy zagadnienia diety:

a_2ix^ +a₂₂x₂-t-a₂₃X3 + a₂₄x₄>500.

27