Inżynieria finansowa Tarcz8

168 Strategie inwestowania...

stopy procentowej t za okres At. Działając zgodnie z tym schematem wykonuje się obliczenia dla węzłów aż do momentu zerowego, który odpowiada początkowi drzewa dwumianowego. Podobnie postępuje się w przypadku opcji amerykańskiej. Dodatkowa operacja polega jedynie na sprawdzeniu w każdym węźle czy korzystniejsze jest wcześniejsze wykonanie opcji, czy posiadanie jej przez kolejny okres At.

Rozpatrzmy przykład wyceny za pomocą drzewa dwumianowego trzymiesięcznej europejskiej opcji sprzedaży akcji spółki, która nie wypłaca dywidendy. Cena akcji jest równa 20 zł (5=20), cena wykonania opcji 20 zł (X=20), wolna od ryzyka stopa procentowa 19% w skali roku (/=0,19), chwiejność akcji wynosi 60% (er =0,6), okres ważności opcji w skali roku jest równy 0,25 (7=0,25). Aby skonstruować drzewo dwumianowe dla tej opcji dzielimy okres ważności opcji na trzy przedziały czasowe o długości jeden miesiąc każdy, co daje:

At =0,0833 roku

( j

- = 0,0833 3

Na podstawie wzorów (10. 14)h-( 10.16) otrzymujemy dla rozpatrywanej opcji następujące wartości:

~ 1,1891

u =

d =

~ 0,8410

P =

1,1891

^0,19-0.0833 _Qj8₄! _Q _ 0,₁₇50

1,1891-0,8410 ^_ 0,3481

: 0,5027.

Na podstawie obliczonych wielkości można przystąpić do skonstruowania trzyokresowego drzewa dwumianowego. Każdy węzeł drzewa jest opisany dwoma liczbami. Górna przedstawia cenę akcji w danym węźle, natomiast dolna wartość opcji. Prawdopodobieństwo wzrostu w całym drzewie jest równe 0,5027 (p), a prawdopodobieństwo spadku 0,4973 (1-/?). Cena akcji w j-tym węźle w chwili i-At jest obliczane na podstawie wzoru (10.17). Drzewo skonstruowane zgodnie z tymi założeniami pokazano na rysunku 10.6.