Inżynieria finansowa Tarcz2

172 Strategie inwestowania...

waż praktycznie cena może przyjąć dowolną dodatnią wartość. Powodów gwałtownej zmiany cen akcji może być wiele.

Oznacza to konieczność posługiwania się bardziej dokładnymi modelami zachowań kursów akcji. Wyprowadzenie wzorów modelu Blacka-Scholesa opiera się na bardzo skomplikowanych przekształceniach matematycznych opartych na założeniu, że zmiany kursu akcji są określone procesem stochastycznym (jest to geometryczny proces Wienera).

Równania modelu Blacka-Scholesa przy podanych wcześniej założeniach są następujące:

C = S N(d_l)-X-e~^rT N(d₂),    (10.18)

P = X- e~^rT ■ N(-d₂)~ S • N(-d,),    (10.19)

4-1

s.=Ał1

+

r + -

o-Jt

.2 A

■T

(10.20)

In

d₂=—±

IV

r —

a

2

■T

cr-4r

= d,-o-4f,    (10.21)

gdzie:

C - wartość europejskiej opcji kupna,

P - wartość europejskiej opcji sprzedaży,

S - bieżąca cena akcji,

X - cena wykonania opcji, r - stopa procentowa wolna od ryzyka,

T- czas do terminu wygaśnięcia opcji wyrażona w latach,

<7 - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji,

N(d) - wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu d.

Wzory (10.18)^(10.21) można stosować również dla amerykańskiej opcji kupna dla spółek nie wypłacających dywidendy. Nie można wykorzystać podanych wzorów do wyceny amerykańskiej opcji sprzedaży. Model Blacka-Scholesa bada zmianę wartości portfela ze względu na zmiany cen akcji i upływ czasu. Model ten daje matematyczne uzasadnienie wartości opcji kupna.