PC043368

RozdziałFunkcje jednej zmiennej

(336)

Definicja 3.26. Przyjmujemy, że

r f(x)dx= I f(x) cU + \ f(x) d.v,

J~QO    J-00    %JQ

gdzie a € R oraz wykonalne jest działanie dodawania po prawej stronie.

Jeśli całka (3.34) (odpowiednio (3.35), (3.36)) ma wartość skończony to mówimy, że jest ona zbieżna; o funkcji / mówimy, że jest całkowała na przedziale (a, +oo) (odpowiednio na (-oo, b), na zbiorze liczb rzeczywistych).

Funkcję f nazywamy bezwzględnie całkowalną na danym przedziale, jeśli funkcja |f\ jest całkowalna na tym przedziale.

Przykład 3.66.

rc~^x d.v = lim I e“* dr = Urn (1 - e"^£) = 1.

*■*** Jo    ^l~*"

Całka jest zbieżna. Podobnie łatwo pokazać, że

j e^,dr = _<Um_o J e*dr = Jltn(l-e') = I.

Tym samym mamy także

re'^wdr = f° e^xdx+ P°c~*dx = 2.

J-oo    J-oo    Jo

Przykład 3.67.

a) Wyznaczymy całkę L° _x(^jy Mamy

i

dr

= lim •

dr

x(x -1) z—<*> x(x -1)

Całka jest oczywiście zbieżna, b) Całka J|" jest rozbieżna:

f —r—= lim In|in.t|| = lim ln|lnz|-lnln2 = °°* J2 -rln;t i-*o° I2 r—«o

Zadania Zadanie 3.1 Wykazać z definicji, że

a) lim = 2, b) lim \ = O,

c) lim jr = O,    d) lim ^2 = 1.

Zadanie 3.3

Podając przykład odpowiedniego ciągu, pokazać żc następujące implikacje są fałszywe:

a)    lim |a_n| = I => lim </„ - I,

•-♦00    fl—łOO

b)    ciąg (a*) jest zbieżny => ciąg (a„) jest zbieżny,

c)    lim a„ - oo => Hm ^ = 1.

Zadanie 3.4

Obliczyć granicę ciągu (a_n), gdy:

l\ _ z"-4-O) U_n - 4y.»3_3« ₊ |0*

c) a-

Zadaniu 3.2

ftikazać, że następujące ciągi są ograniczone:

a) a„ = ®j$, b) a„ * sin n, c) a_n =    d) a„ ■

_ hM^+IOO ~ 3»r+5łi- i ’

^fn + \ - Vn, d) a,

d) a_n = ^5P,

-    *'    \/łl 4 I

f) «», = V2ⁿ + 3",

j) a„ = n(ln(n + 1) - Inn).

Zadanie 3.5

Wykazać, że dany ciąg nie ma granicy:

a) a„ = sin(nn/4), b) a„ =    c) = (-l)"⁵,

d) a„ - (-l)^ln/21, e) a„ = arc tg((-l)"nl), f) a„ = arcsin(sin f).

Symbol [jc] oznacza część całkowitą liczby *. Znaleźć granicę dolną i górną każdego ciągu.

Zadanie 3.6

Wykazać, że ciąg zdefiniowany warunkiem o,i = O, a_n = VI + a»-i dla ń > 1, jest zbieżny.

Zadanie 3.7

Zbadać zbieżność szeregu, badając granicę ciągu jego sum częściowych: a) U a, gdzie a e R, b) £ n(-l)ⁿ,

n=I    n=l

^c) Z ^a". gdzie a e R

00

147