prigogine18

Dylemat Epikura

niczę się do zaprezentowania definicji całkowalnoś-ci, tak jak sformułował ją Poincare: całkowalny układ dynamiczny to układ, dla którego można wprowadzić zmienne w ten sposób, że energia potencjalna zostąje wyeliminowana, to znaczy jego zachowanie staje się izomorficzne z zachowaniem układu cząstek swobodnych. Poincare wykazał, że znalezienie takich zmiennych jest najczęściej niemożliwe. A zatem, układy dynamiczne są — na ogół — niecał-kowalne.

Gdyby rozumowanie Poincarego doprowadziło do odmiennego rezultatu, gdyby udało mu się wykazać, że wszystkie układy dynamiczne dąją się całkować, przerzucenie mostu pomiędzy światem dynamiki a światem obserwowanych przez nas procesów byłoby niemożliwe. W świecie izomorficznym ze zbiorem cząstek swobodnych nie ma miejsca ani na strzałkę czasu, ani na samoorganizację, ani na życie. Poincare nie tylko wykazał, że całkowalność jest własnością jedynie nielicznej klasy układów dynamicznych, ale również zidentyfikował przyczynę wyjątkowego charakteru tej właściwości: istnienie rezonansów między stopniami swobody układu. Sprecyzował on tym samym problem, który mógł stać się punktem wyjścia do naszego uogólnienia dynamiki.

Jak się przekonamy w rozdziale 5., z każdym typem ruchu związana jest pewna częstość. Prostym przykładem jest oscylator harmoniczny, opisujący zachowanie cząstki, na którą działa siła proporcjonalna do odległości: jeśli odchylimy cząstkę od położenia równowagi, zacznie ona drgać ze ściśle określoną częstością. Rozpatrzmy przykład najbardziej „swojskiego” oscylatora, czyli sprężyny. W oddaleniu od położenia równowagi, sprężyna drga z charakterystyczną częstością. Co jednak dzieje się w przypadku, kiedy poddamy ją działaniu pewnej siły zewnętrznej, która zmienia się z dającą się regulować częstością? Między obiema częstościami daje się wówczas zaobserwować zjawisko sprzężenia. Rezonans zachodzi wtedy, gdy między częstością drgań sprężyny i częstością zmian siły zewnętrznej zachodzi prosty stosunek liczbowy (jedna z częstości równa jest całkowitej wielokrotności drugiej). Wówczas amplituda drgań wahadła gwałtownie rośnie. Podobne zjawisko pojawia się w muzyce, podczas wygrywania jednej nuty na jakimś instrumencie. Słyszymy wtedy tony harmoniczne. Rezonans „sprzęga” dźwięki.

Częstości, a zwłaszcza zagadnienie ich rezonansu, znąjdują się w centrum opisu układów dynamicznych. Każdy stopień swobody danego układu dynamicznego charakteryzuje się jakąś częstością. Wartość poszczególnych częstości zależy na ogół od punktu przestrzeni fazowej. Weźmy na przykład pod uwagę układ posiadający dwa stopnie swobody i charakteryzujący się odpowiednio częstościami a>_L i co₂. Zgodnie z definicją, rezonans występuje w każdym punkcie przestrzeni fazowej, w którym dla całkowitych i różnych od zera wartości ni i n₂, «iC0i + tt₂ci)₂ = 0, ponieważ w takim punkcie njn_z =    Tym

czasem, w obliczeniach takich trajektorii występują „niebezpieczne”, jak określił je Poincare, ułamki typu l/(niO)] + rc₂0L>₂). Tam gdzie występują rezonanse (czyli w punktach w przestrzeni fazowej, gdzie n_lo)_J + n₂(ji2 = 0), przeprowadzenie obliczeń staje się

55