str138 (4)

138 2. FUNKCJE SPECJALNE

Definicja 2. Równaniem różniczkowym Legendre'a nazywamy równanie

dy

d²y

dt² ” dt

(4.5)    (l-t²)-^--2t~ + n(n + l)y = 0, n-0,1,2,.

Definicja 3. Wielomianami Legendre'a nazywamy funkcje postaci

P₀(<) = 1,

(4.6)

będące rozwiązaniem równania (4.5).

Własność 2. Pomiędzy wielomianami Legendre'a zachodzą następujące zależności:

= 0,

(4.7)

(n + l)P_n+l(t)-(2n + l)tP_n(t) + nP_n-₁(t) = 0    dla n = l,2,...

Własność 3. Funkcje P„(t) tworzą układ ortogonalny funkcji w przedziale <—1, 1>, mianowicie spełniają następujące związki:

(4.8)

J P_m(i)P„(t)dt =

0	dla m-tn,
1	dla m = n.
2n+I

Definicja 4. Funkcjami dołączonymi Legendre'a nazywamy funkcje następującej postaci:    _v

d^m P

(4.9)    P_nm(0 = (l-t²)^im-

gdzie P„(t) są wielomianami Legendre’a (4.6).

Własność 4. Funkcje /'„„.(cos 0) występujące w wyrażeniu (4.1) są dołączonymi funkcjami Legendre'a (4.9) P„_m(t) dla t = cos 0.

Własność 5. Jeżeli szereg występujący w zależności

(4.10)

00 00

/(0 » <p) = Z Z (°mn cos m<p + b_mn sin mq>) P_m„(cos 0),

n = 0 m = 0

jest jednostajnie zbieżny do funkcji f(0,ę) w> obszarze 0^ę^2n oraz O^O^tz, to współczynniki a_m„ i h_mn określone są następującymi wzorami:

2lC K

2n + l (n — m)!

2ó_mn (n + m)

<p) P_nm(cos 0) cos mcp sin OdOdę,

Zadania przykładowe

Zadanie 4.1. Wyznaczyć v Rozwiązanie. W zależni

następnie ze wzorów (4.7) ot

T»,(0-7*2(0 = 7*3(0 = 7*4(0=

Zadanie 4.2. Wyznaczyć

/i = 0, 1,2 i 0

Rozwiązanie. Korzystar w poprzednim zadaniu

7*o

7*i

7*.

7*2

7*2

7*2

7*_oo(cos0;

P_u(cos0]

P₂₁(cos0;

Zadanie 4.3. Przedstawić mianów Legendre’a.

Rozwiązanie. Z własno

(4.11)

o o

2n n

_2n + l (n — m)! ( j*

2ó_m7i (n + m)!J.

o o

/(0, <p) P_nm{cos 9) sin m<p sin OdOdę,

gdzie 5_m = 2 dla m = 0 / d_m = 1 dla m>0.

Korzystając z otrzymanych w napisać następującą tożsamo!

5x³+2x²-.