str048 (5)

48    1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

1 + i _

d)    j e^zdz wzdłuż łamanej o wierzchołkach z_l = 0, z₂ = U ²z — (l+0» o

e)    J \z\dz, gdzie C jest odcinkiem o początku = —i oraz końcu z₂ = /, c

f)    j \z\dz, gdzie C jest krzywą o równaniu z = e",

c

g)    J \z\dz, gdzie C jest krzywą o równaniu z = cosr+isinf, —^n^t^^n. c

2. Obliczyć całkę:

a)    | ćdz, gdzie Cjest dowolną krzywą regularną o początku z_x = 0 oraz końcu z₂ = in, c

b)    | e'Vz, gdzie Cjest dowolną krzywą regularną o początku z₂ = i oraz końcu z₂ = 0, c

c)    | coszdz, gdzie C jest dowolną krzywą regularną o początku z, = 0 oraz końcu c

z₂ = \n,

d)    J sin(2z+ \)dz, gdzie C jest dowolną krzywą regularną o początku z_x = 0 oraz c

końcu z₂ =

Odpowiedzi

1. a)    b) 21, c) (2e—e^1_ł—1), d) Ce¹ ~^ł—2e“'+1), e) i, f) 2i, g) 2i.

2. a) —2, b) /(e^-1 — 1), c) 1, d) cosl.

§ 7. Całki z funkcji holomorficznych

Twierdzenie 1 (całkowe Cauchy’ego). Jeżeli funkcja /(z) yes/ holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka krzywoliniowa funkcji f(z) wzdłuż każdej krzywej regularnej zamkniętej C przebiegającej w D równa jest zeru, czyli

(7.1)    f/(z)dz = 0.

c

Niech C_ltC₂, C„ będą konturami, z których każdy leży na zewnątrz pozostałych, a wszystkie leżą wewnątrz konturu C₀. Przy tych założeniach słuszne jest

Twierdzenie 2 (uogólnienie tw. całkowego na obszary wielospójne). Jeżeli funkcja /(z)

jest holomorficzna wewnątrz i na brzegu obszaru D ograniczonego konturami C₀, C_t.....C„

(obszar (n+ \)-spójny), to

(7-2)    j /(z) dz — J/(z) dz+ j* J (z) dz + ...+ \f(z)dz.

'Co    Ci    c₂    c„

Z twierdzenia 2 wynika następujący praktyczny wniosek: Jeżeli funkcja f(z) jest holomorficzna w obszarze D z wyjątkiem punktu z₀ e D, to

(7-3)    J/(z)dz= j7(z)dz,

Cl    c₂

gdzie Ci oraz C₂ są dowol obszaru D.

Twierdzenie 3. Jeżeli /(. jest dowolnie ustalonym pui

(7.4)

jest funkcją holomorficzną g górnej granicy całkowania

Innymi słowy, funkcja hi funkcję pierwotną F(z) ol

Twierdzenie 4. Jeżeli j całka funkcji /(z) wzdłuż do wyraża się wzorem

gdzie F(z) jest dowolną fur

Zadania przykładowe

Zadanie 7.1. Obliczyć c

wykorzystując to, że (całki (2)

Rozwiązanie. W celu

(3)

oraz kontur całkowania C

(4)

gdzie 7, oraz J₂ są promiei wiednio kąty <p₁ = 0 oraz (rys. 1.10):

Ponieważ funkcja /(z) jes ności holomorficzna wewną nia całkowego Cauchy’ego

(5)    J

Ji

4 — Wybrane działy matematyki