Image61

120

m_l r_{ -f m₂ r₂ = 0,

gdzie m_l jest masą krążka, a m₂ - masą pozostałej części układu.

Rozpisując to równanie we współrzędnych kartezjańskich, otrzymuje przekształceniach

y po

e. Współrzędne środka masy są następujące:

2.79. Oznaczmy podstawę dowolnego trójkąta (rys.39) przez a, jego wysokość przez h. Obierzmy pasek o długości b i szerokości dy w odległości y od

podstawy. Elementarną masę znajdujemy ze wzoru

dm = pbdy =

h - y

h

pady,

gdzie zależność b od y wyznaczyliśmy z

• •

proporcji

b

a

h

y

h

Dla współrzędnej y_s środka masy otrzymujemy

jy dm

f dm

h f<* -0	y) y dy — - n
h ł(fr 0	~ 3 ^h' - y) dy

%

Środek masy trójkąta znajduje się, licząc od jego dowolnej podstawy, w odległości równej - odpowiedniej wysokości trójkąta, czyli środek masy pokrywa się z punktem przecięcia się środkowych trójkąta.

2.80. We wszystkich rozważanych przypadkach jako układ odniesienia obieramy układ środka masy. Symetryczny tensor momentu bezwładności będzie miał w nim tylko elementy diagonalne. Oznaczymy je odpowiednio:

/

XX

h.

a. Osie x, y, z są równoległe do krawędzi a, b, c

L =

(y² 4- z²) dm

(m)

4- z²) dx dy dz =

r- C

a

m

abc

dx

(y² -f z²) dz

dy =

1

12

m (b² + c²).

W analogiczny sposób znajdziemy pozostałe główne momenty bezwładności:

m (a² 4- c²),

U =

1

12

m (a² 4- b²).

Rys.40

b.

=

- mR²

c. Obliczamy najpierw tensor F& względem układu współrzędnych o początku leżącym w wierzchołku stożka (rys.40). Obliczenie przeprowadza się łatwo w cylindrycznym układzie współrzędnych

x — r cos(p, y = r simp,

z,