mat170

170 6. Ciągi liczbowe

Oszczędzanie systematyczne

Zwykle na emeryturą, na mieszkanie, na kształcenie dzieci oszczędza się systematycznie, wpłacając co miesiąc określoną kwotę. Jeżeli stopa procentowa jest stała i kapitalizacja odsetek następuje na koniec każdego miesiąca, to obliczenie końcowego kapitału jest w miarę proste.

f Przykład 47. Pracodawca postanowił dodatkowo ubezpieczyć swojego pracownika w funduszu emerytalnym i wpłacał każdego miesiąca 100 zł. Fundusz ten gwarantował stałe oprocentowanie w stosunku rocznym 6%. Kapitalizacja odsetek następowała na koniec każdego miesiąca. Oblicz, jaki kapitał był na koncie pracownika po dwudziestu latach.

Rozwiązanie: Pierwsze 100 zł leżało na koncie przez 240 miesięcy, czyli po 20 latach wpłacania kapitał od pierwszych 100 zł był równy

100

1 +

10012

\240

= 100

f

1

1 A

240

V

200

Kapitał od kolejnych 100 zł był równy 100

x239

1 +

200

Łączny kapitał po dwudziestu latach, to:

^=100

(

1 +

1 Y⁴⁰

200

+ 100 1 +

1

\239

200

/

+ ... + 100

1 +

1 A

200

200

Zauważamy, że zgromadzony kapitał emerytalny K_E jest sumą 240 wyrazów ciągu geometrycznego skończonego (a_n ) o ilorazie q = 1 -t—— i pierwszym wyrazie

n, =100

(

1 +

200

. Zatem

K-f. ~ -^240 ~ ^a\

1 ~q

240

1-

/

1 +

1 A

240

K_e = 100

200

200

1 +

i A

czyli K_e~ 46 435,11 zł.

200

/

Odp. Po dwudziestu latach na koncie pracownika była kwota 46 435,11 zł.

Ćwiczenie 49. Młode małżeństwo, Ania i Paweł, postanowiło odkładać na kupno mieszkania, wpłacając co miesiąc 1 000 zł. Bank zaproponował stałe oprocentowanie 5% w stosunku rocznym z kapitalizacją odsetek co miesiąc. Oblicz, jaką kwotą będą dysponować po czterech latach oszczędzania.