PB032280

144

o PRZYKŁAD 2.85

Rozwiąż równanie 1 + x +    ⁺ ** ⁺ - * 2, którego lewa stron

trycznym.    ^Jest

w

2adaⁿ‘^{a 1}

1.

ROZWIĄZANIE

Wyznaczamy iloraz: q = — — x*

Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika nierówność-

\q\ < 1    |x| < 1 <=> -1 < x < 1

|ę| < 1 ojc e (-1; 1)

Dla x e (-1; 1) lewą stronę równania możemy zapisać w postaci: S - ^a\

Ponieważ a\ = 1, q = x, więc S — --.

1—x

Stąd otrzymujemy równanie 1

= 2, którego rozwiązaniem jest x = — ; — e (—1; \\ 1—x    2    2

zatem x = — jest rozwiązaniem naszego równania. 2

ODPOWIEDZ

Rozwiązaniem równania jest liczba— .

13. Zadania różne

O PRZYKŁAD 2.86

Ciąg (a„) jest określony za pomocą wzoru rekurencyjnego:

a)    Podaj wzór na n- ty wyraz tego ciągu.

b)    Oblicz granicę lim a_n.

ROZWIĄZANIE

v 1 a) a. =- , a2	_(1+1)^2	1 2
^1 2 ^2	1(1+2)	2 3 ^3
5^2 4	5	n
*** 4-6 5	6 * ’*’	* ~ n+1

3²    2    3 _a __4

'2-4*3    4 * °^A

i	3 PI
«|<N II	D
(lf + 1)^2 ^f”^+1 ”/i(/i + 2) "	i b;
	R
	II
3 4	p

Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnimy, że wzór na nego rekurencyjnie ma postać: a

R+l

n-ty wyr⁸²

ciąg^u0*