64 (96)

Przykład 1.19

Rozwiązać układ równań

2.r +	3y -	: = 31
X +	y +	: = 2{
w taki sposób, aby X^7 PX =	min	'2 1 0
gdzie	P =	1 2 0 0 0 1

AX = L

Rozwiązanie

Rozwiązaniem o minimalnej normie (!{xj|_p = X⁷ PX = min) układu AX ~ L jest wektor X = A~_(P)L. Ponieważ /?(A) = 2, więc AeSi^2,3 jest macierzą wierszowo pełnego rzędu i istnieje odwrotność (AP'^!A^r)“^l. Zatem

a;;₁₍₁»j = p"'A^r(AP“¹A^r)"¹

0.037 0.222 - 0.259

0.185

o. u i

0.704

oraz

0.037	0.185”	O *		0.481"		A
0.222	0.111	Jj 2	=	0.889	=	y
0.259	0.704	U J		0.630		^rr i." J

Przykład 1.20

Obliczyć uogólnioną odwrotność A~_(łN) macierzy

gdy macierz N - I₃.

Rozwiązanie

Ponieważ wartości każdego z podwyznaczników drugiego stopnia macierzy A są równe zeru, a przy tym nie jest to macierz zerowa (istnieją elementy tlij ^ 0). więc R(A) = r = ! oraz d=n-r~\. Zatem, w celu wyznaczenia uogólnionej odwrotności A”₍j ) =A~ , macierz A zapiszemy w następującej postaci blokowej ( a₅ e    A₂ ^e )•

Ponieważ

(A,	Air'	0	n = | 6	0
-	0	0	1°	0
	2 4*	Pi "I !	2 0'
		{■ 0 , !
r =	1 2	0 0 ^6 i	1 0	=
	1 2	L j	1 0

A

A,

A o

2    1    !';    _>    A, - [2    I    l |

4    2    'zj    ^>    A₂=[4    ^2    2I

(A N”^łA' )’ = (AA' )>

więc

Awn)=a;-a‘(aat =

[a/(a,a') ':oi

Przykład 1.21

Rozwiązać układ równań

2 A' + y + 4 a ł- 2 v +

12 ]

19 i

J. AX = L

w taki sposób, aby X^; X -- min.

Rozwiązanie

Rozwiązaniem układu równań AX - L, spełniającym wymagany warunek, jest wektor

X — A „j(Ni) L A L

(macierz A„j wyznaczono w poprzednim przykładzie). Wobec tego

X = A

m{ N)^J

'2 ()'
i 0	'12
	19	—	2
1 0			2

Przykład 1.22

Rozwiązać układ równań

x    +    z    =    4

— x    +    2 y    -ł-    z    =    6    >

2v    +    2^    —    7

w taki sposób, aby i + i y² + ?² = min.

65