00098499

286 FUNKCJE ZMIENNEJ ZRSFOU

przy czym z uwagi na przyjęte założenia mamy f'{z₀) i 0 oraz ż{«) * 0, więc /T(z-) * 0

Z równości (III 91) dostajemy

Arg.!'(* + ) -• Arg/'(z_nI¹ ArgA’(» I )    (lit92)

Zauwaźm>. że zgodnie z interpretacją geometryczna pochodnej funkcji zespolone; zmier.nei rze./jwistcj ipor p 3 tego rozdz.!. Arga • * • i stanowi zbór wszystkich traar łukowych kąta skierowanego o wierzchołku -v i.iirienu początkowym ;S₀) zgodnie równoległym do Ox, oraz ramienia kolcowym (Si zgodnie równoległym do wektora (Re/.'(*-);    )). stycznego w punkcie :_c do laku (III 89)

Interpretacja Arg.1(3 —i jest ana ogiczna i dotyczy kąta o wierzchołku w₃ I rami ortach : początkowym (7₀) i końcowym (T) - patrz rys. 111.19

Równość (111.92) wskazuje na to. źc na skutek odwzorowania w —/(z) O założonych wylej właściwościach kierunek styczny (.V) doznał obrotu (został odwzorowany na kierunek styczny (T)). przy czym jedną z miar tego obrotu jest arg/ (r₀) Każda inna miara lego obrotu rolni się od arg/ (r₀) O całkowitą wielokrotność 2rr. Ponieważ liczba s.rgf'(z_a) i luk <111.89) są od siebie niezależne, więc każdy kierunek (.S) wyprowadzony z punktu z₀ dozna na skutek odwzorowania w = /(z) obrotu o kąt skierowany, którego jedną z miar jest arg/'(r₀)» a zatem kąt skierowany między dowolnymi dwoma takimi kierunkami nie zmieni się (rys. III.20), W szczególności zachowa się

Rrs. 111.20

prostopadłość kierunków. Jeżeli w obszarze D znajdują się dwie rodziny linii, ortogonalne jedna względem drugiej, to na skutek odwzorowania obszaru D za pomocą funkcji holomorficznej i jednokrotnej przejdą one w dwie rodziny linii w obszarze D\ które będą także ortogonalne jedna względem drugiej.

Def. Odwzorowanie konforemne obszaru D jest to odwzorowanie zachowujące kąt skierowany między każdymi dwoma kierunkami wyprowadzonymi z dowolnego punktu tego obszaru.

Udowodniliśmy zatem następujące twierdzenie.

Tw. Odwzorowanie obszaru O za pomocą funkcji holomorficznej i rótnowarloieio-wej jest odwzorowaniem konforemnym lego obszaru.

Odwzorowania konforemne znajdują liczne zastosowania w zagadnieniach technicznych. Okazuje się na przykład, le obliczanie pewnych parametrów fizycznych ośrodka o złożonych kształtach, można za pomocą odwzorowań konforemnych sprowadzić do obliczenia tych parametrów dl* kształtów mniej złożonych. Typowymi przykładami są tu obliczenia parametrów (np. pojemności) elektrycznych linii przesyłowych o złożonych przekrojach.

Uwaga. Omówiona tu konforemność odwzorowania za pomocą funkcji /(z) wyjaśnia interpretacje geometryczną argumentu arsTfe)-'W każdym punkcie z„ rozważanego obszaru arg/'(z<>) jest miarą łukową obrotu każdego kierunku wyprowadzonego z tego punktu, tj. obrotu, który nastąpił na skutek odwzorowania w = /(z).

W celu pełnej interpretacji geometrycznej pochodnej /’(*), zwrócimy jeszcze uwagę na moduł |/'(z)|- Ponieważ

MH=IA*a)łMxi-f0<:/l*D

więc ,/'fa)| jest granicą stosunku odległości |Jw| punktów po przekształceniu do odległości \Az\ punktów przed przekształceniem. Granica ta, zależna tylko od funkcji f\z) i punktu z₀> niezależna natomiast od sposobu w jaki Az -* 0, bywa nazywana współczynnikiem wydłużenia odwzorowania h> =/(z) w punkcie z₀. Jeżeli moduł |/łz| jest dostatecznie bliski zeru, to

idw! s& |/'fa)l \M

Trudności natury rachunkowej związane z odwzorowaniami, zmuszają nas niekiedy do posługiwania się tym przybliżeniem.

Dwa zagadnienia z zakresu odwzorowań konforemnych zasługują na szczególną uwagę.

Zagadnienie I. Dany jest ohszar D i dany jest obszar D\ szukamy funkcji J\z) holomorficznej i jednokrotnej w obszarze D, która odwzorowuje go na obszar D'.

Zagadnienie II. Dany jest obszar D i funkcja /(z) holomorficzna i jednokrotna w tym obszarze, szukamy obszaru D‘, na który funkcja /(z) odwzorowuje obszar D.

Pierwsze z tych zagadnień jest na ogół znacznie trudniejsze od drugiego. Efektywne znalezienie funkcji odwzorowującej dany obszar na inny dany obszar bywa bardzo trudne, a nawet praktycznie niemożliwe. Odnośnie zagadnienia I, ograniczymy się tu do podania ważnego twierdzenia, które dotyczy istnienia i jednoznaczności odwzorowania.

Tw. (Riemanna, o odwzorowaniu). Jetell

1° D i D' są to obszary jednospójne, przy czym brzeg każdego z nich składa się co najmniej z dwóch punktów,

2° z„ Jest dowolnym punktem w obszarze D, w₀ jest dowolnym punktem w obszarze D' oraz <p₀ jest dowolna łłczbą z przedziału (—it, +tt),

to istnieje dokładnie jedna funkcja f(z) holomorficzna i jednokrotna w obszarze D, która odwzorowuje obszar D na obszar D‘ i laka, te

/fro) “ ^wo oraz arg/'fa) = <p₀