84 (58)

Wartości dystrybuanty F(x) lub funkcji

<p(x)

o

•^r f xp -

l

2 A

przy czym

F(x)-ó(x) + 0.5

są tablicowane (tablice funkcji <jfa) zamieszczono na końcu podręcznika - tab. 1).

Na podstawie (2,5), prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym przyjmuje wartości x_l <X<xmożna wyrazić wzorem (rys. 2.6)

P(x_{ < X < ,r₂) =

(2.12)

= F(x₂)-F{xQ

Natomiast dla x_]3 x₂ > 0, korzystając z funkcji <p(x), zapiszemy

/^J(.v, <X<x₂) =

> A

o

(2.13)

- <p(x₂)-<p(xt)

Ogólny rozkład normalny

Zmienna losowa ma taki rozkład wówczas, gdy jej funkcja gęstości ma postać (rys, 2.7)

f(x)~—p^rexp cw2 a

2<t"

{— oo_; oo j

(2.14)

gdzie a i cr>0 są parametrami rozkładu (konkretna interpretacja tych parametrów będzie omówiona w dalszej części podręcznika). Ogólny rozkład normalny o parametrach a i a będziemy oznaczali krótko przez Nf«; ej.

Przedstawiony wcześniej standardowy rozkład normalny jest szczególnym przypadkiem rozkładu ogólnego. Jeśli « = 0, cr= 1 to

/(*) = •

exp

a

Ter²

1

cxp(-

Zatem

N[«; (7) -    ■> N[0; i]

Przekształcenie zmiennej losowej X o ogólnym rozkładzie normalnym N[«; crj do zmiennej losowej 7'o rozkładzie standardowym N[0; 1], czyli

X ~ N[a; cH -> T ~ N(0; 1]

jest nazywane standaryzacją. Przekształcenie to wyraża się wzorem (rys. 2.7)

X — a    _ x — a

a    o

(2.15)

Rozkład x² (hi-kwadrat)

Zmienna losowa ^ma taki rozkład, gdy

⁼ X i" + X 7 + ..

/=!

X?

przy czym dla każdego i — 1,...,/zmienne losowe x_t niają standardowe rozkłady normalne ix_t ~ N[(); 1]) i są wzajemnie niezależne. Liczbę/określa się mianem liczby stopni swobody.

Uwaga: jeśli X~ N[0; 1], fco y} ma rozkład gamma.

Do celów praktycznych są tablicowane wartości %;², dla których P(-jQ _>x²) = _a (tab. II). Wobec tego, jeśli f(x²) = P(yj <1²) J^est dystrybu-antą zmiennej losowej o rozkładzie x/> to (rys. 2.8)

F(r) = l~P(X/>X²)    (2.16)

85