042

42 //. Odwrót od Hfgla

dzamy. W praktyce jest tak. że rozstrzygamy na innej podstawie, jakie formy zdań przekazują tę informację w sposób najbardziej przejrzysty i nie zawsze są to te formy gramatyczne, w których owe zdania są pierwotnie formułowane. Nasuwa się tu ogólniejsza teza. iż zdania, które wydają się mieć taką samą strukturę gramatyczną, mogą być podatne na bardzo odmienne przekształcenia.

W podobny sposób oddziaływała Russellowska teoria typów. W zamyśle teoria ta miała rozwikłać odkrytą przez Russella antynomię. która zahamowała postępy prac nad Principia Mathematica i skłoniła Fregego do powiedzenia, gdy został o niej powiadomiony przez Russella, że podstawy matematyki legły w gruzach. Antynomia ta rodzi się z naturalnego założenia, że każdej własności odpowiadają dwie klasy przedmiotów: tych, które ową własność posiadają, i tych, które jej nie posiadają. Rozw^fażmy jednak własność należenia do siebie samego, która ma zastosowanie do klas. Na pierwszy rzut oka wydaje się. że jest to własność autentyczna. Na przykład klasa przedmiotów policzalnych sama jest policzalna, a klasa ludzi sama nie jest człowiekiem. A co z klasą klas, które nie są własnymi elementami? Jeśli owa klasa jest własnym elementem, to nim nie jest, a jeśli nie jest własnym elementem, to nim jest.

Russcllowskie rozwiązanie tego paradoksu uzależnione jest od zasady. iż znaczenie tego, co Russell określa mianem funkcji zdaniowej, to znaczy wyrażenia predykaty w nego z nieokreślonym podmiotem, nie zostaje scharakteryzowane, dopóki nie zostanie wskazana dziedzina przedmiotów, które mogą kandydować do jej spełniania. Pociąga to za sobą. iż kandydatury owe nie mogą w sposób sensowny zawierać niczego, co byłoby zdefiniowane w terminach owej funkcji. W rezultacie funkcje zdaniowe i, odpowiednio, zdania zostają uporządkowane w pewną hierarchię. O przedmiotach, które kandydują do spełniania funkcji tego samego rzędu, mówi się. że tworzą typ; obowiązuje reguła, że tego. co można powiedzieć zgodnie albo niezgodnie z prawdą o przedmiotach jednego typu. nie można sensownie powiedzieć o | przedmiotach innego typu. W konsekwencji powiedzenie o klasie klas, które nie są własnymi elementami, iż jest ona, względnie nie jest, swoim własnym elementem, nie jest prawdziwe ani fałszywe, lecz pozbawione sensu.

Russell stosuje tę samą zasadę do rozwiązywania innych antynomii logicznych, a także do rozwiązywania antynomii semantycznych, takich jak paradoks kłamcy, w których tworzy się sąd. który mówi o sobie, iż jest fałszywy, co ma taką konsekwencję, że jeśli ów sąd jest prawdziwy, to jest fałszywy, a jeśli jest fałszywy, to jest prawdziwy. Teoria typów eliminuje ten paradoks formułując zasadę, iż sąd, o którego prawdziwości bądź fałszywości orzekamy, musi być sądem niższego rzędu niż sąd. za pomocą którego się to orzeka. A zatem żaden sąd nie może w sposób sensowny orzekać o własnej prawdziwości bądź fałszywości.

Teoria typów spełnia swoje zadanie, ale dokonuje tego w dość arbitralny sposób i przypuszczalnie zbyt dużym kosztem. Na przykład, prowadzi do pewnej trudności na gruncie matematyki, którą Russell mógł usunąć jedynie poprzez wprowadzenie pewnej szczególnej zasady. która nie nadaje się raczej do roli prawdy logicznej. Nadto, ogólnie rzecz biorąc, nie jest wcale oczywiste, że nie możemy nigdy sensownie mówić w taki sam sposób o przedmiotach różnych typów. Możemy np. liczyć przedmioty na różnych poziomach, nic uważamy jednak, by wyrażenia numeryczne posiadały różne znaczenie zależnie od tego. czy są stosowane do klas, których elementy należą do różnych typów. Russell odpowiada na to. że w takim przypadku wyrażenia te istotnie posiadają różne znaczenia. O wyrażeniach, które wydają się mieć zastosowanie do przedmiotów różnych typów, Russell mówi. że są one systematycznie wieloznaczne. Wieloznaczność ta umyka naszej uwadze właśnie dlatego, że jest to wieloznaczność systematyczna. Rzecz w tym, że gdyby nie teoria typów, nie mielibyśmy żadnego powodu, by przypuszczać, że w tych przypadkach występuje jakakolwiek wieloznaczność.

Panuje obecnie moda. by traktować paradoksy logiczne i paradoksy semantyczne odrębnie; podejmuje się próby wyeliminowania paradoksów logicznych przy użyciu innych metod niż teoria typów. Są np. tacy. którzy twierdzą, że można uniknąć paradoksu klas czyniąc go bezprzedmiotowym; utrzymują oni. że klasa klas. które nie są swoimi elementami, po prostu nie istnieje. Rozwiązanie to byłoby bardziej zadowalające, gdybyśmy rozporządzali jakimkolwiek jasnym kryterium pozwalającym rozstrzygać, co stanowi klasę w sensie właściwym.