12(7)

a i />. należy: 1) rozłożyć wek lory na składowe (skalarne); 2) dodać do siebie sl do we dla każdej osi lak, aby otrzymać składowe sumy wektorów r; 3) wyznać; wektor r na podstawie jogo składowycłi. W ostatnim punkcie mamy możiiwj wyboru sposobu postępowania. Możemy wyrazić /• przez wektory jednostkowy jak w- równaniu (3.9). lub przez jego moduł i k;jt. jak w odpowiedzi do zadania, zamieszczonego w przykładzie 3.3.

W podobny sposób można odejmować wektory na składowych. Przypomnijmy. że różnicę wektorów, np. d = a -b można sprowadzić do sumy. pisząc J = a i- (-/;). lak więc. odejmując wektory a i b. po prostu dodajemy składowe wektorów a i —/>, co daje:

y

d_x = a_x — b_x. (l_x — (i_x — b_y ora/ <L — a- — b_:.

przy czym;    *

(/ = d_x i (/, j + r/-k.

R/SPPAW07IAN .? Spójrz na i\sunck iiln^k i powiedz* ;«• takie sj znaki skljdnwwłi i wektorów »/₍ » hi f.ikie n.j znaki składowych y wektorów il, i </;. e) jakie mi znaki I składowycłi .i i y wek lora t!\ *t-i/».

Przykład 3.4

Na rysunku 3.l6a przedstawinno ir/v wckior\:

*' — 1-4.2 mji ••• 11.5 11 •»|.

/>-(- 1.6 m)i -t (2.^l) iii)j. ć = { 3.7 iii)j.

U>znać/ wektor który ji*M ich Mima (równic/ pok.i/any na tym rysunku).

ROZWIĄZANIE:

O—» 1. Trzy dane wektory możemy dodać, dodając ich odpowiednie składowe. Dodając składowe x weku nów ń. h i 7, otr/.y litujemy składową .\ wektora r:

•\ - (t\ + b_x + r_x ~ 4.2 iii • 1.6 ni * 0 = 2.6 ni. Analogicznie:

r. - ti_x 4- b_K -f- t\ : —1.5 m 4- 2.‘J m • • 3.7 nt -= -2.3 m

O—r 7. Znając składowe wckiora #*. mo/eiti) go zapisać /a po* mocą wektorów jednostkowych:

? = (2.6*m>i - (2.3 iiiij.    (odpow iedz)

przy c/ym (2.6 mti jest wektorem sktadowyni wckiora r w/dłnż osi x. a -(2.3 m)j — wzdłuż osi y. Na rysunku 3.I6K przedstawiono jeden ze sposobów. w jaki można / nich utworzyć wektor r (czy jHilrałis/ narysować drugi z łych sposobów?).

O—w 3. Możemy również podać odpowiedź w postaci modułu wektora 7 i kąta wyznaczającego jego kierunek. Z równania (3.6) wynika, że moduł jest równy:

r ?= \/<2.6 m>- p (-2.3 ni)’ ^ 3.5 iii. (odpowiedź)

b)

Rys. 3.T6. Przykład 3.4. Wektor r jest sumą trzech jło/oslafych wektorów

a kąt (micr/.ony od dodatniego kierunku osi .v) wynosi:

/ —2.3 m\

V = aretg ł ——- j = -41*,    (odpowiedź)

przy czym znak minus wskazuje. że kąt jest micr/ony w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

46    3. Wektory

ład 3.5

v

Na rysunku 3.17 przedstawiono fragmcnl mapy. na której zaznaczono trasę rajdu samochodowego. Startując z miejsca wybranego jako początek układu współrzędnych. musisz dotrzeć dowolną drogą kolejno do u/.ech punktów kontrolnych:

I) punktu kontrolnego Adamów, leżącego o 36 km na u schód od początku układu (przemieszczenie u).

• 2) punktu kontrolnego Borki, leżącego na północ od Adamowa (przemieszczenie />).

3) punktu kontrolnego Ciche, odległego o 25 km od Borków w kierunku wyznaczonym przez kąt. zaznaczony na rysunku (przemieszczenie 7-).

Całkowite przemieszczenie J wynosi 62 km. Jaki jest moduł b przemieszczenia //?

ROZWIĄZANIE.

O—t Przemieszczenie całkowite <i jest sumą trzech przemieszczeń pośrednich, a więc można napisać: 'kąd wynika. że: • 3 I4»

Zapiszmy równanie t3 14» w postaci równań dla składowych v i y. Wcktoi h jest równoległy do osi y. dlatego leż z równania dla skladowydi v można wy/nac/u’^- iiumUi) tego wektora. Możemy napisać więc:

h_% r tly -r\.    t3.ł5i

Korzystając / równania (3.5). jrodslawiaiąc dane i zauważając, ze h = h,. otrzymujemy:

b =• (62 km)siiW* — 0 — (25 km) sin 135 .    (3.16)

Rys. 3.17. Przykład 3 5 \ł.ą*a z ira-a i:i|ln n.« kunei '•••nac' drogi, punkt startu i punkty kontrolne: Adamów t.\t Borki t/>'i i Ciche <Ci

SicMcty. nu* znamy kąta •> i/n.noy iinsliij i kienmcł wvku«uw <i i »*. lec/ nic znamy kicniuku wektora <•'*. \h> wwn.n/y*-napiszemy równanie t VI li dla składów\cli «:

/», :. ,1    <i.    ...    ^,;r‘

co daje:

0 •= (62 km) cos O - 36 km - t25 kin) cos 135 .

a stąd:

36 - i25>lcos 135 )    , .

n - arccos----_.....

62

Wstawiając to do równania t3.l(o. otrzymujemy:

I, 4? km.    (odpowiedź)

3.6. Wektory a prawa fizyki

Na wszystkich rysunkach zawierający cli układ współrzędnych, jakie przedstawi-iiśmy do lej porv. osie \ t \ Iwly równolegle cło krawędzi strony. Gdy więc rozważaliśmy wektory, ich składowe były lakże równolegle do tych krawędzi, jak składowe a_x i ti_y wektora rl na rysunku 3.1 Xa. Nie ma żadnego istotnego powodu, aby tak właśnie wybierać kierunki osi (poza tym. że taki rysunek najwygodniej oglądać). Możemy równie dobrze obrócić osie (ale nie wektor o) np. o kąt tf>, jak na rysunku 3-1 Sb. otrzymując inne składowe wektora, kióre oznaczyliśmy przez </' i a\. Istnieje nieskończenie wiele różnych kątów <p_t dlatego też możemy mieć nieskończenie wicie różnych par składowych wektora <i.

Która z tych par jest „najwłaściwsza" ? Otóż każda z nich jest równie praw idłowa. gdyż każda /. nich (w połączeniu z odpowiadającymi jej osiami) pokazuje inny sposób wyrażenia tego samego wektora o: każda z nich pozwala wyznaczyć

3.6. Wektory o prawa fizyki