082(1)

co oznacza, że gdy x -* -j-co współczynnik kątowy asymptoty nie istnieje, a więc krzywa nie ma asymptoty dla x -> -foc. Z kolei

A: =

. V

lim ' — lim e^x = 0

x—*— oo X

X    ¹

b — lim (y—kź) — lim xe* — lim —- - lira —= 0 ®    e ^x    e

(stosowaliśmy tu regułę de 1’Hospitala). Zatem krzywa ma asymptotę poziomą, gdy x -* — oo, mianowicie y = 0 (oś Ox).

sin x x

3) y = x+

a)    Dana krzywa nie ma nieciągłości nieskończonych, a więc nie ma asymptot pionowych

b)    Mamy

*- lim Z ₌ ]i= i

*->+«> X    \ X² I

ponieważ j sinjc| < 1, oraz

b - lim (y—kx) — lim ^S*ⁿ'^V = 0

AT-*+C0    X

Te same wartości parametrów asymptoty otrzymamy dla x -> —oo. Zatem dla x-* -foo oraz dla x -> — oc krzywa ma asymptotę >> = x-

Krzywa ta przecina swą asymptotę nieskończenie wiele razy, przechodząc z jednej jej strony na drugą (rys. 70).

Sposób, tv jaki krzywa zbliża się do swej asymptoty, można określić przez badanie znaku różnicy rzędnych krzywej i asymptoty. W danym

przypadku różnica ta wynosi y_kr. -y_as = —"— i zmienia znak nieskończenie wicie razy w punktach, dla których x — kn\ k = ±1, ±2,...

4) y = x arc ctg x

a)    Krzywa jest wszędzie ciągła, nic ma więc asymptot pionowych.

b)    Mamy

k = lim -- = lim arc ctg x — arc ctg(+oo) = 0

oraz

b = lim (y—kx) — lim x arc ctg x — lim ^{arc A}

JC-^-reo    JL

X

Stosując dwukrotnie regułę de 1’Hospitala, otrzymamy

1

= 1

,    .. arc ctg x ..    ^— \-\-x¹    .. x²    2x

b = lim -—, - = lim-r— = lim-——^ = lim-=—

_L    __L    H-*- 2x

X    X²

A więc, gdy x -* +co, krzywa ma asymptotę y — 1. Z kolei

k = lim — = lim arc ctg x — arc ctg( oo) = n

jt-»- oo X

oraz

b = lim (y— kx) = lim (x arc ctg x—nx) = lim x(arc ctg x—ri) —

X -* - 00

arc ctg x—n lim--j --= lim

J

l+x*

1

= lim

xr

1+jć

= 1

Zatem d!ax -> —co krzywa ma asymptotę>• = nx i-1 (rys. 71).

5) y = ln(4—X²)

a)    Krzywa ma dwie asymptoty pionowe x = — 2 i x = 2; bowiem dla x = ±2 ma ona nieciągłości nieskończone.

b)    Krzywa nie ma innych asymptot niż pionowe, ponieważ jest ona określona w przedziale —2 < x < 2, więc x nie może dążyć do nieskończoności (rys. 72).

167