47340 str133 (4)

§ 3. ZMODYFIKOWANE FUNKCJE BESSELA 133

§ 3. ZMODYFIKOWANE FUNKCJE BESSELA 133

wić y = x~ V(x).

■x=t\ = x\

iwić y = jc“^K(.x:).

m Bessela nazywamy równanie

iywamy rozwiązania równania

/

pierwszego lub funkcją MacDo-

. \v + 2t

Własność 1. Jeżeli |argz| <$n, to między funkcjami Jfz) oraz 7_v(z) zachodzą następujące związki:

(3.3)    Jfze^±i^nl) = e^±^^ylJfz),

(3.4)    I_v(ze^±t^nl) = e^±i”^vi J_v(z).

Własność 2. Funkcja 7_v(z) ma nieskończenie wiele urojonych miejsc zerowych Własność ta wynika z zależności (3.4).

Wykresy funkcji I₀(x) i 7,(x), gdzie x = Rez, przedstawione są na rysunku 2.5.

Dalsze własności funkcji 7_v(z) wyrażają następujące zależności:

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

I_v(ze^mi) = e^,mv*/_v(z), m - całkowite, /_„(z) = /_B( z),    /,₁(-_Z) = (-l)ⁿ/_n(z),

zl'fz) = v/_v(z) + z/_v+1(z), z/;,(z)= -V7_v(z) + z7„_₁(z),

~[z-'I _v(z)]=z-^v/_v+1(z), li z

dz

[z'7_v(z)] = z'7_v_,(z),

/_v(z)/'__v(z)-/;(z)/__v( z)= —

gdzie z # 0, a v jest niecałkowite, (3.12)

(3.13)

2 sin vk

nz

j l²v{kz)zdz = -łz²|^/;^ł(kz)-^l+p^/?(fcz)J, Rev> —1,

O

z

j Ifkz) Iflz) z dz =    [k/„_ ^fcz) 7_v(/z) - //_v_ _x(/z) 7_v(kz)],

At t* /, Rev> —1.

/