§ 3. ZMODYFIKOWANE FUNKCJE BESSELA 133
§ 3. ZMODYFIKOWANE FUNKCJE BESSELA 133
wić y = x~ V(x).
■x=t\ = x\
iwić y = jc“^K(.x:).
m Bessela nazywamy równanie
iywamy rozwiązania równania
/
pierwszego lub funkcją MacDo-
. \v + 2t
Własność 1. Jeżeli |argz| <$n, to między funkcjami Jfz) oraz 7v(z) zachodzą następujące związki:
(3.3) Jfze±inl) = e±^ylJfz),
(3.4) Iv(ze±tnl) = e±i”vi Jv(z).
Własność 2. Funkcja 7v(z) ma nieskończenie wiele urojonych miejsc zerowych Własność ta wynika z zależności (3.4).
Wykresy funkcji I0(x) i 7,(x), gdzie x = Rez, przedstawione są na rysunku 2.5.
Dalsze własności funkcji 7v(z) wyrażają następujące zależności:
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Iv(zemi) = e,mv*/v(z), m - całkowite, /_„(z) = /B( z), /,1(-Z) = (-l)n/n(z),
zl'fz) = v/v(z) + z/v+1(z), z/;,(z)= -V7v(z) + z7„_1(z),
~[z-'I v(z)]=z-v/v+1(z), li z
dz
[z'7v(z)] = z'7v_,(z),
/v(z)/'_v(z)-/;(z)/_v( z)= —
gdzie z # 0, a v jest niecałkowite, (3.12)
(3.13)
2 sin vk
nz
j l2v{kz)zdz = -łz2|^/;ł(kz)-^l+p^/?(fcz)J, Rev> —1,
O
z
j Ifkz) Iflz) z dz = [k/„_ ^fcz) 7v(/z) - //v_ x(/z) 7v(kz)],
At t* /, Rev> —1.
/