RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Definicja przestrzeni probabilistycznej:

Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, Σ, P), gdzie:

Σ - przestrzeń zdarzeń elementarnych

Ω - zbiór zdarzeń losowych

P - funkcja prawdopodobieństwa, P: Σ → <0,1>

Zdarzenie elementarne (Ω) - określa najprostszy wynik doświadczenia; każde zdarzenie elementarne wyklucza inne zdarzenie elementarne.

Przykład: - rzucamy sześcienną kostką do gry:

Ω = {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆}, e_i - wypadło i oczek

- rzucamy monetą:

Ω = {O, R}

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Σ) - rodzina podzbiorów przestrzeni Ω spełniającej warunki:

1. zbiór pusty Ø
   Σ

2. jeśli A
   Σ, to jego dopełnienie Ω - A
   Σ

3. jeśli A_i
   Σ, i=1,2,…, to suma
   

Elementy Σ nazywamy zdarzeniami losowymi. Zbiór Ø nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Zbiór Ω - A = A' nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.

• Twierdzenie:

Jeśli:

1. 
   

2. A_i
   Σ, i
   N oraz A_i
   A_j = Ø, dla i ≠ j

3. P(Ω) = 1

to:

WNIOSEK:

P(Ø) = 0

UWAGA!!!

Zapis: A_i
A_j = Ø oznacza, że zdarzenia wykluczają się!!!

• Definicja zmiennej losowej:

Zmienną losową nazywamy każdą funkcję X: Ω→R, spełniającą warunek, że dla każdej liczby rzeczywistej a, zbiór:

{w
Ω: X(w) < a}

jest zdarzeniem, tzn.
Σ, a
R.

• Definicja dystrybuanty:

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F, określoną wzorem:

F(x) = P(X<x) = P{w: X(w) < x}

Własności dystrybuanty:

• dziedzina: R

• zbiór wartości: <0,1>

• jest funkcją niemalejącą,
  

• jest lewostronnie ciągła na R

• 
  

• 
  

• 
  

Rozróżniamy dwa typy zmiennych losowych:

• ciągłe

• dyskretne

• Definicja zmiennej losowej ciągłej:

Zmienną losową X nazywamy zmienną losową ciągłą, jeśli istnieje taka nieujemna funkcja f, że dla każdej liczby rzeczywistej x dystrybuanta zmiennej jest określona wzorem:

, f > 0

f - funkcja gęstości zmiennej losowej X.

• Twierdzenie:

Jeśli gęstość f jest funkcją ciągłą w punkcie x₀, to dystrybuanta F jest różniczkowalna w tym punkcie oraz zachodzi równość:

F'(x₀) = f(x₀)

Przykład: Dla jakiego C
R, funkcja f jest gęstością zmiennej losowej? Obliczyć dystrybuantę.

1. x < 1,
   

2. 1 < x < 2,
   

3. x > 2,
   

Dystrybuanta:

• Twierdzenie:

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jest ciągła.

ROZKŁADY CIĄGŁE:

• ROZKŁAD WYKŁADNICZY

x > 0, α > 0

Dystrybuanta:

x < 0:

x > 0:

• ROZKŁAD JEDNOSTAJNY

lub z pola prostokąta:

Dystrybuanta:

bo:

- funkcja liniowa

• ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA) z parametrami m i b: N(m,σ)

Gęstość:

-∞ < x < +∞, m - dowolne, 0 < σ < +∞

Właściwości krzywej Gaussa:

• symetryczna względem prostej x = m

• ma maksimum dla x = m, f(m) =
  

• ma dwa punkty przegięcia: m - σ, m + σ

N(0,1) - rozkład normalny standaryzowany:

• Twierdzenie:

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m,σ), to zmienna losowa
ma rozkł. N(0,1).

Dystrybuanta:

Dla N(0,1):

Rozkłady ciągłe:

• gęstość: f(x) > 0,
  =1

• dystrybuanta: F(x) =
  ; funkcja ciągła F'(x₀) = f(x₀)

• wykres F jest ciągły

• P{x₁ < X < x₂} =
  = F(x₂) - F(x₁)

ROZKŁADY DYSKRETNE

• Definicja dyskretnej zmiennej losowej:

Zmienną losową X nazywamy dyskretną (skokową) jeśli przyjmujemy skończony lub przeliczalny zbiór wartości.

Elementów przeliczalnych jest tyle samo, co liczb naturalnych!!!

Skończona ilość wartości zmiennych losowych:

X	x1	x2	…	xn
P(X=xi)	p1	p2	…	pn

Nieskończona ilość wartości zmiennych losowych:

X	x1	x2	…	xn	…
P(X=xi)	p1	p2	…	pn	…

• Definicja rozkładu prawdopodobieństwa:

Rozkładem prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa) zmiennej losowej dyskretnej X określonej na przestrzeni Ω nazywamy funkcję P przyporządkowującą wartościom P(X = x_i) = p_i, przy czym spełniony jest warunek: Σp_i = 1.

p_i > 0

WYKRES

HISTOGRAM

• ROZKŁAD DWUPUNKTOWY

p > 0, q > 0

p + q = 1

X	x1	x2
P(X=xi)	p	q

Dystrybuanta:

F(x) = P(X < x)

1. x < x₁

F(x) = 0

2. x₁ < x < x₂

F(x) = P

3. x > x₂

F(x) = p +q = 1

• ROZKŁAD RÓWNOMIERNY

X	x1	x2	…	xn
P(X=xi)	p1	p2	…	pn

p + p + … + p = 1

n · p = 1

Dystrybuanta:

• ROZKŁAD BERNOULLIEGO (dwumianowy) z parametrami n i p (0 < p < 1)

• Definicja rozkłady Bernoulliego:

Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład Bernoulliego z parametrami parametrami parametrami p (0 < p < 1) jeśli zmienna losowa X przyjmuje wartości k = 0,1,…,n z prawdopodobieństwem określonym wzorem:

, gdzie q = 1 - p

k=0,1,…,n, n
N

X	0	1	…	k	…	n
P(X=k)			…		…

P(X=k) > 0

Warunek unormowania:

Przykład: n=4, p=

Wykres prawdopodobieństw:

Dystrybuanta:

• ROZKŁAD POISSONA

• Definicja rozkładu Poissona:

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ (λ>0), jeśli zmienna losowa X przyjmuje wartości k = 0,1,2,… z prawdopodobieństwem określonym wzorem:

X	0	1	2	…	k	…
P(X=k)				…		…

P(X=k) > 0

• Twierdzenie Poissona (zastosowanie):

Jeśli zmienna losowa X_n ma rozkład Bernoulliego i jeśli dla n=1,2,… spełniony jest warunek: λ=n · p (λ>0), to:

W/w twierdzenie stosujemy dla dużych n i wtedy rozkład Bernoulliego można zastąpić rozkładem Poissona.

„dość” dokładnie

Dowód:

• ROZKŁAD GEOMETRYCZNY

• Definicja rozkładu geometrycznego:

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p (0 < p < 1) jeśli zmienna ta przyjmuje wartości k z prawdopodobieństwem:

P(X=k) = p · q^k-1 , gdzie q=1-p

k=1,2,3,…

0 < p < 1

p + q = 1

0 < q < 1

X	1	2	3	4	…	k	…
P(X=k)	p	p · q	p · q^2	p · q^3	…	p · q^k-1	…

P(X=k) > 0

Warunek unormowania:

CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE ZMIENNYCH LOSOWYCH:

• WARTOŚĆ OCZEKIWANA (PRZECIĘTNA) EX, E(X)

• Definicja wartości oczekiwanej:

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X:

typu dyskretnego typu ciągłego

nazywamy liczbę

gdzie: gdzie:

W - zbiór punktów skokowych f(x) - gęstość X

przy założeniu, że

szereg

jest bezwzględnie zbieżny jest bezwzględnie zbieżna

Przykład:

a)

xi	0	1	2
pi

E(X) = 0 ·
+ 1 ·
+ 2 ·
= 1

b)

i=1 i=2 i=3

xi	-2	2	-	…		…
pi­				…		…

P(X_i) = …

P
=

Warunek unormowania:

|q| < 1

E(X) =

Badamy szereg:

nie jest zbieżny bezwzględnie
E(X) nie istnieje

(*)
- rozbieżny

Przykład:

lub:

E(X) =

Przykład:

• WARIANCJA D²X, D²(X), V(X), VX

• Definicja wariancji:

Wariancją (dyspersją) zmiennej losowej X, mającej wartość oczekiwaną nazywamy liczbę:

D²(X) = E(X - E(X))²

(wartość oczekiwana kwadratu różnicy zmiennej losowej X i jej wartości oczekiwanej).

Dla zmiennej losowej typu:

- dyskretnego:

gdzie: W - zbiór punktów skokowych

- ciągłego:

• Twierdzenie:

D²(X) = E(X²) - (E(X))²

(różnica wartości oczekiwanej kwadratu zmiennej losowej X² i kwadratu wartości oczekiwanej zmiennej X)

Z definicji mamy:

D²(X) = E(X - E(X))² = E(X² - 2XE(X) + (E(X))²) = E(X²) - E(2XE(X)) + E((E(X))²) =

= E(X²) - 2E(X) · E(X) · E(X) + (E(X))² = E(X²) - (E(X))²

Przykład:

p_i > 0

Σp_i = 1

xi	-1	1	3
pi

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ = -1·
+ 1·
+ 3·
= 1

Przykład:

UWAGA: Wariancja nie może być zerem i jest większa od zera!!! D²(X) > 0 0 < p_i < 1

PRZYKŁADOWE WARTOŚCI E(X) I D²(X) DLA POSZCZEGÓLNYCH ROZKŁADÓW:

Rozkład	E(X)	D^2(X)
Wykładniczy o postaci:
Normalny: N(m,σ)	m	σ^2
Bernoulliego	n · p	n · p · q
Poissona	λ	λ
Geometryczny

ELEMENTY KOMBINATORYKI

• Kombinacją bez powtórzeń z n elementów po k elementów (k<n) nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów, przy czym obojętne jest w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone.

- liczba kombinacji k elementów z n elementów

Przykład:

Ile nastąpi powitań, jeśli jednocześnie spotka się sześciu znajomych?

1, 2, 3, 4, 5, 6 {3,4} = {4,3} k = 2, n = 6

• Permutacją bez powtórzeń nazywamy zbiór składający się z n uporządkowanych różnych elementów.

P_n = n! - liczba permutacji

Przykład:

W urnie są 3 kule o numerach: 1,2,3. Wyciągamy po kolei te kule i notujemy ich numery wg

kolejności ich wyciągania (kul nie zwracamy do urny). Ile różnych liczb możemy otrzymać?

lub: P₃ = 3! = 6

• Wariancją bez powtórzeń z n elementów po k elementów (k<n)nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów.

- liczba wariancji bez powtórzeń k elementów z n elementów

Przykład:

Ile można wykonać 3-kolorowych chorągiewek (tylko pasy poziome) z sześciu barw?

n = 6, k = 3

• Wariancją z powtórzeniami z n elementów po k elementów nazywamy uporządkowany zbiór składający się z k elementów różnych lub różniących się między sobą, wybranych spośród n różnych elementów.

- liczba wariancji z powtórzeniami k elementów z n elementów

Przykład:

Ile można utworzyć 5-cyfrowych liczb z cyfr 4, 5 i 6?

• Twierdzenie:

P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
B) gdzie A,B
Σ

A
B = A
(B-A)

rozłączne

A
(B-A) = ø

P(A
B) = P(A) + P(B-A)

rozłączne

P(B) = P(A
B) + P(B-A)

P(A) + P(B) - P(A
B)

Przykład:

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeśli losujemy 1 kartę z talii 52 kart, to wylosujemy pika lub asa.

52 kart: 13 pików, 4 asy

• Definicja zdarzeń niezależnych:

Zdarzenia A,B
Σ nazywamy niezależnymi, jeśli P(A
B) = P(A) · P(B).

Załóżmy, że A,B
Σ, P(B)>0

• Definicja prawdopodobieństwa warunkowego:

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę określoną wzorem:

Zał. P(A)>0,

P(A
B) = P(A/B) · P(B) = P(B/A) · P(A)

• Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym):

Jeśli:

1. zdarzenia A₁, A₂, …, A_n
   Σ wyłączają się parami A_i
   A_j = ø, i≠j

2. A₁
   A₂
   …
   A_n = Ω

3. P(A_i) > 0 dla i=1, 2, …, n

to dla każdego zdarzenia B
Σ:

P(B) = P(A₁) · P(B/A₁) + P(A₂) · P(B/A₂) + … + P(A_n) · P(B/A_n)

DOWÓD:

A₁
A₂
…
A_n = Ω

B = B
Ω = B
( A₁
A₂
…
A_n) = (B
A₁)
(B
A₂)
…
(B
A_n)

P(B) = P(B
A₁)+(B
A₂)+…+P(B
A_n) = P(A₁)·P(B/A₁) + P(A₂)·P(B/A₂) +…+ P(A_n)·P(B/A_n)

Przykład:

Trzy maszyny produkują pewien towar:

I maszyna: 50 sztuk: średni % braków = 3%

II maszyna: 30 sztuk: średni % braków = 4%

III maszyna: 20 sztuk: średni % braków = 5%

Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia na brak w całej produkcji.

P(B) = P(A₁) · P(B/A₁) + P(A₂) · P(B/A₂) + P(A₃) · P(B/A₃)

i=1,2,3

P(A_i) - prawdopodobieństwo trafienia na towar wyprodukowany przez i-tą maszynę

P(B/A_i) - prawdopodobieństwo trafienia na brak pod warunkiem, że towar pochodzi z i-tej

maszyny

• Twierdzenie Bayesa (o prawdopodobieństwie a posteriori):

Jeśli:

1. zdarzenia A₁, A₂, …, A_n
   Σ wyłączają się parami A_i
   A_j = ø, i≠j

2. A₁
   A₂
   …
   A_n = Ω

3. P(A_i) > 0 dla i=1, 2, …, n

to dla każdego zdarzenia B
Σ takiego, że P(B)>0 zachodzi wzór BAYESA:

(prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A_i pod warunkiem, że B już zaistniało)

bo:

Przykład:

(drugie pytanie do w/w zadania).

Przypuśćmy, że wylosowano jedną sztukę produkcji i okazała się ona brakiem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że brak ten wyprodukowała trzecia maszyna?

Przykład:

W urnie jest 5 kul białych i 10 czarnych. Losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę białą?

Opis:

18

x

y

y=f(x)

x

y

y

x

y=F(x)

1

2

F(1) = 0 , F(2) = 1

1

0

y

x

y = f(x)

y = F(x)

x

y

0

y

x

c

a

b

x

b

a

1

y

y = F(x)

y

x

m

m - σ

m + σ

p₂

P

p₁

x

y

x_n

x₁

x₂

X

p_n

X

X

x₂

x₁

x_n

X

q

P

x₁

x₂

p+q = 1

p

P

x₁

x₂

p

P

y = F(x) - funkcja ciągła

2

X

2

1

3 4

1

X

P

1 2 3 4

P

y=
x

1

b

a

A-B

A
B

B

A

10C

5B

B

B

B

C

C

C

---