028 029

28 ., ,

Zwróćmy uwagę aa prostotę operacji dzielenia w porównaniu z dzieleniem w systemie dziesiętnym! gdzie dodatkowo naleiy sprawdzić, ile razy mieści się dzielnik w reszcie z.dotychczasowego dzielenia.

Operacje arytmetyczne aa liczbach ze znakiem

Operacje dodawania i odejmowania można zrealizować w każdym z zapisów liczb ze znakiem, lecz najwygodniej w zapisie znak - uzupełnienie do dwóch.

Operacje mnożenia i dzielenia realizuje się głównie w zapisie znak - moduł.

Podawanie i odejmowanie w zapisie znak - moduł przeprowadza się na modułach, identycznie jak dla naturalnych liczb dwójkowych, ustalając oddzielnie znak wyniku.

W zapisie znak - uzupełnienie do -Jedności dodawanie i odejmowanie wykonuje się na wszystkich bitach łącznie z bitem znaku, a wynik uzyskuje się w tym samym zapisie. Ponieważ każde odejmowanie można sprowadzić do dodawania liczby ze znakiem przeciwnym, wystarczy w tym zapisie stosować tylko operację dodawania. Jeżeli po wykonaniu działania przed bitem znaku pojawi się jedynka, należy ją przenieść na pozycję najmniej znaczącą 1 dodać. Oto przykłady.

0101	(+5)	0101	(-5)	101O
0010	-*■(-2)	1101	1+22	0010
0111	(+3)	1^0010 0011	(-3)	1100

(+5)

(+7)

zapisie znak - uzupełnienie do dwóch można również odejmowanie zastąpić dodawaniem, obejmującym wszystkie bity, łącznie z bitem znaku (Jak poprzednio), przy czym wynik uzyskuje się w tym samym zapisie. Jeżeli po wykonaniu działania przed bitem znaku pojawi się Jedynka przeniesienia, należy ją zignorować. Oto przykłady.

(+5)	0101	(+5)	0101	(-5)	1011
+1+2)	0010	±1=21	1110	+(+2)	0010
(+7)	0111	(+3)	1 0011	(-3)	1101

Mnożenie i dzielenie liczb ze znakiem zwykle wykonywane Jest w zapisie znak - moduł, przy czym właściwe operacje mnożenia 1 dzielenia wykonywane są na modułach zgodnie z zasadami podanymi dla naturalnych liczb dwójkowych, a oddzielnie wykonywane są proste operacje na bitach znaków w . celu wyznaczenia zpaku wyniku.

1.3. DWUELEMENTOWA AIGEBRA BOOI£'A........

I

Układy cyfrowe przetwarzają Informacje binarne i dla ich opisu konleaz-ny jest aparat matematyczny operujący dwoma symbolami. Okazało się,że al-

gebra sformułowana w połowie XIX w. przez angielskiego lpajka G. Boole'a jest dobrym narzędziem opisu tych układów. Elementy tej algebry, w zakresie wymaganym do projektowania układów cyfrowych, podajemy niżej.

Jak wiadomo, algebra jest zespołem utworzonym przez zbiór elementów E = {°i| t zbiór działań (funkcji) 7 = { f^ j nad E. Zbiór elementów jest zamknięty ze względu na zbiór operacji, tzn. dowolne operacje z F na dowolnych elementach z E dają w wyniku elementy z E.

Pewne działania są pojęciami pierwotnymi danej algebry, a własności ich są określone przyjętym układem ak- . sjomatów; nazywamy je działaniami podstawowymi..Inne otrzymujemy w wyniku superpozycji działań podstawowych. Przyjmuje się, że zbiór działań P, współdefinlujący algebrę, zawiera wyłącznie działania podstawowe.

W dwuelementowej algebrze Boole 'a

X	Jf
1	1
1	0

x y x*y 0(0

0    I 1

1    0 1 1 1 1

x y	*•#
0 1	0
0 1	0
1 0	0
1 1	1

Rys. 1.16. Tabele podstawowych działań algebry Boole a

E = { O, 1 } zaś F ={V , A, }

Trzema działaniami podstawowymi są odpowiednio: suma x Vy, iloczyn xAy oraz negacja x. Dla wygody, sumę i iloczyn będziemy oznaczali po prostu x + y i x • y    czym kropka iloczynowa

może być pomijana),’ chociaż różnią się one od identycznie zapisywanych operacji arytmetycznych.

1.3.1. Aksjomaty i ważniejsze tożsamości

Tabele podstawowych działań algebry Boole a podane są na rys. 1.16. Wynikają one z poniższego zespołu aksjomatów:

	(T) x + 0 = x		(5) x + y = y	+ X
	(D X • 1 = X		(D X • y = y	• X
	(|) X + X = 1		(7) xy«cz = x(y+z)
	0 II IX X ©		(|)(x+y)(x+z)	= x + yz
który dogodnie Jest uzupełnić,			wynikającym z niego następującym - zespołem
tożsamości:
©	X + 1 = 1	©	xy = x + y	prawa de Morgana
©	X 0 II 0	©	x~Ty = x • y
©	X + X = x	©	x + xy = x	reguły
©	X • X = X	©	x(x+y) = ^x	pochłaniania
©	X = X	©	xy + *y ~ ^x	, reguły
	x+xy as X + 7	©	(x+y)(x+y) ^ x	sklejania