028 029

aa

Zwróćmy uwagę aa prostotę operacji dzielenia w porównaniu z dzieleniem w systemie dziesiętnym, gdzie dodatkowo należy sprawdzić, ile razy mieści się dzielnik w reszcie z.dotychczasowego dzielenia.

Operacje arytmetyczne na liczbach ze znakiem

Operacje dodawania i odejmowania można zrealizować w każdym z zapisów liczb ze znakiem, lecz najwygodniej w zapisie znak - uzupełnienie do dwóch.

Operacje mnożenia i dzielenia realizuje się głównie w zapisie znak - no-duł.

Dodawanie i odejmowanie w zapisie znak - moduł przeprowadza się na modułach, identycznie jak dla naturalnych liczb dwójkowych, ustalając oddzielnie znak wyniku.

W zapisie znak - uzupełnienie do -jedności dodawanie 1 odejmowanie wykonuje się na wszystkich bitach łącznie z bitem znaku, a wynik uzyskuje się w tym samym zapisie. Ponieważ każde odejmowanie można sprowadzić do dodawania liczby ze znakiem przeciwnym, wystarczy w tym zapisie stosować tylko operację dodawania. Jeżeli po wykonaniu działania przed bitem znaku pojawi się jedynka, należy ją przenieść na pozycję najmniej znaczącą 1 do- j dać. Oto przykłady.

(+5)	0101	(-5)	1010
+(-2)	1101	(+2)	0010
	1^0010	(-3)	1100
	^v--1
(+3)	0011

(+5)    0101

.    +(+2)    0010

(+7)    0111

JN zapisie znak - uzupełnienie do dwóch można również odejmowanie zastąpić dodawaniem, obejmującym wszystkie bity, łącznie z bitem znaku (Jak poprzednio), przy czym wynik uzyskuje się w tym samym zapisie. Jeżeli po wykonaniu działania przed bitem znaku pojawi się Jedynka przeniesienia, należy ją zignorować. Oto przykłady.

(+5)	0101	(+5)	0101	(-5)	1011
+(+2)	0010		1110	+(+2)	0010
(+7)	0111	(+3)	1 0011	(-3)	1101
Mnożenie i	dzielenie	liczb	ze znakiem zwykle		wykonywane Jest w zapisie

znak - moduł, przy czym właściwe operacje mnożenia i dzielenia wykonywane są na modułach zgodnie z zasadami podanymi dla naturalnych liczb dwójkowych, a oddzielnie wykonywane są proste operacje na bitach znaków w . celu wyznaczenia zpaku wyniku.

1.3. DWUELEMENTOWA AIGEBRA BOOIE'A

I

Układy cyfrowe przetwarzają informacje binarne i dla ich opisu konieee-ny jest aparat matematyczny operujący dwoma symbolami. Okazało się,że algebra sformułowana w połowie XIX w. przez angielskiego lpgj.ka G. Boole'a jest dobrym narzędziem opisu tych układów. Elementy tej algebry, w zakresie wymaganym do projektowania układów cyfrowych, podajemy niżej.

Jak wiadomo, algebra jest zespołem utworzonym przez zbiór elementów E = {ejJ 1 zbiór działań (funkcji) F = ( f^ j nad E. Zbiór elementów jest zamknięty ze względu na zbiór operacji, tzn. dowolne operacje z F na dowolnych elementach z E dają w wyniku elementy z E.

X	K
1 t	) 0

Rys. 1.16. Tabele podstawowych działań algebry Boole a

Pewne działania są pojęciami pierwotnymi danej algebry, a własności ich są określone przyjętym układem ak- . sjomatówj nazywamy Je działaniami podstawowymi. Inne otrzymujemy , w wyniku superpozycji działań podstawowych. Przyjmuje się, że zbiór działań F, współdeflnlujący algebrę, zawiera wyłącznie działania podstawowe.

W dwuelementowej algebrze Boo-le 'a

E = { 0, 1 } zaś F ={V , A,^-}

Trzema działaniami podstawowymi są odpowiednio: suma x Vy, iloczyn xAy oraz negacja X. Dla wygody, sumę i iloczyn będziemy oznaczali po prostu x + y i x • y (przy czym kropka iloczynowa może być pomijana),’ chociaż różnią się one od identycznie zapisywanych operacji arytmetycznych.

1.3.1. Aksjomaty i ważniejsze tożsamości

Tabele podstawowych działań algebry Boole'a podane są na rys. 1.16. Wynikają one z poniższego zespołu aksjomatów:

	© X + 0 = X		<© X + y = y	+ X
	(D X • 1 = X		© x • y = y	• X
	d) x + x = 1		© xy+xz = x(y+z)
	© x • x = 0		®(x+y)(x+z)	= X	+ yz
który dogodnie jest uzupełnić,			wynikającym z niego następującym - zespołem
tożsamości:
©	X + 1 = 1	©	xy = x + y		prawa de Morgana
©	x • 0 = 0	©	X + li XI «4|
©	X + X = X	©	x + xy = x		reguły
©	X • X = X	@	x(x+y) = x		pochłaniania
©	X = X	©	xy + xy = x		reguły
©	x+xy = x + y	©	(x+y) (x+y) ■=, x		sklejania