100 37

82

•)

•a

Rys. 3.4

zwroty przeciwne. Zwróćmy uwagę, że zgodnie z przyjętą umową znakowania (punkt 1.4) i dzięki tej umowie wszystkie naprężenia na rys. 3.4b są dodatnie.

3° Naprężenia normalne i styczne możemy traktować jako współrzędne sił wewnętrznych, albowiem każda ścianka ma pole powierzchni równe jedności. Możemy zatem powiedzieć — i to jest istotne — że układ sił wewnętrznych pokazanych na rys. 3.4b obrazuje działanie wszystkich punktów materialnych bryły na punkt A.

Celem nabrania wprawy w graficznym przedstawieniu macierzy naprężeń narysujemy obraz następującej macierzy:

t

Macierz tę przedstawia rys. 3.5.

Ryś. 3*5

Udowodnimy, że macierz naprąteh jest tensorem. Z wnętrza bryły pozostałej w r6»> sowadzc przy obciążeniu układem sił zewnętrznych (Z) ■ (0) wytnijmy (karst oł^-ściowy w kształcie czworościanu, którego trzy krawędzie są odpowiednio ii'inm4|fc do osi układu współrzędnych. Niech punkt przecięcia się tych trzech krawędzi ma wt^. rzędne ytf (x,, x₂, x₃), zaś długości tych krawędzi oznaczmy odpowiednio Ar_}, Ar_Ł Ax₃ (rys. 3.6). Niech wektor v normalnej zewnętrznej do ściany BCD będzie wenorent o współrzędnych a_pt, czyli

*>(*»!,

OJ)

■w

Rys. 3.6

1Ź}^B ♦*»

Zatrzymajmy się chwilę przy współrzędnych tego wersora. Ponieważ długość wersom jest

fówna jedności, przeto współrzędne jego są cosinusami kątów między wcrsorem * a osami współrzędnych i oczywiście zachodzi równość

•^a»t+**z+®«s ■* 1 •

Dalej, jeśli oznaczymy pole powierzchni ścianki prostopadłej do osi x, przez Af„ Si pole powierzchni BCD przez AF, nietrudno zauważyć, że iloraz AFJAF jest równy coś» sowi kąta między tymi ściankami, albowiem powierzchnia AF, jest rzutem powierzchni AP na płaszczyznę prostopadłą do osi x,. Ponieważ cosinus kąta między dwiema ścianami jest równy co sinusowi kąta między normalnymi do tych ścian, przeto możemy np«ać

09)

Na każdy punkt powierzchni wyciętego czworościanu działają sSy wewnętrzne, pochodzące od pozostałych punktów materialnych bryły. Zgodnie z poznanym twierdmnini