29106 S6300946

l    ^

- - 4 < 1, tzn. gdy _£ > I ^    ^b%.

0

nierówność ta jest równoważna warunkowi n >

Ostatnia nierówność jest oczywista, gdy

Zatem za tu, _

° ^

dowolną liczbę naturalną większą lub równą yr 4.

Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić y,

no = <

i/F

dla e >

5’

b) Mamy pokazać, że

A V A [(n>n₀) =* (

e>0 no€N r»€N

Niech £ będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy znaleźć liczbę no e N taką

2 n

n + 1

-2 < £

)]•

każdego n > no spełniona będzie nierówność

| 2n n + 1

- 2

n + 1

2 n n + 1

< £ <==

21 < £. Mamy

n >--1.

£

Zatem za no można przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą--l.

Uwaga*. Korzystając z funkcji część całkowita liczbę no można wyrazić wzorem

no =

1

UJ

dla e > 1,

1 dla 0 < e $ 1.

c) Mamy pokazać, że

\, X (	\/9n^2 + 1 _
(n > no) ==> 1	-----3 n	^<£)J

A V A

e>0 no€N ngN

Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Musimy wskazać liczbę no € N taką, że dla każdego n > no spełniona będzie nierówność

v/9n² -f 1

-3

< e.

n

Nierówność ta jest kolejno równoważna nierównościom

y/9 n² + 1

— 3 < £ <=>

\/9n? + 1 — 3n

< £ <==>

n

n

n (v/§ń^r+T + 3n)

<ۥ

Rozważmy teraz oczywistą implikację

1

n (\/9n² -f 1 - 3n)

< e

z. < s.

n

0000*"**