46577 str108 (5)

108    J. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

108    J. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Rozwiązanie. Zauważmy, że funkcja homograficzna

obracamy pas pionowy w ptasi mujemy wtedy pas poziomy v przekształcenia

(4)

odwzorowujemy na górną pła

Q)
(ś)
Ci
0
	111

odwzorowuje punkt z = i w punkt £ = oo, a ponieważ z — i jest punktem wspólnym prostej L i okręgu C, to okrąg C oraz prosta L odwzorowują się przy przekształceniu (1) odpowiednio na proste C_x oraz L_x równolegle względem siebie.

Ponieważ punkt z = — / leży na okręgu C i dla z = — / otrzymujemy ze wzoru (1) £ = 0, to prosta C, w płaszczyźnie (£) przechodzi przez początek współrzędnych. Przyjmując we wzorze (1) z = 1, otrzymujemy

d')

£ =

l + f (1 + i)²

1 -/

= i.

Równość (T) oznacza, że punktowi z = 1 okręgu C odpowiada na prostej C, punkt £ = /. W konsekwencji prosta C,, przechodząc przez punkty £ = 0 oraz £ = / jest osią urojoną płaszczyzny zmiennej (£) (rys. 1.34a). Aby określić położenie prostej L_x w płaszczyźnie (£), wystarczy wyznaczyć jeden jej punkt, gdyż jest ona równoległa do prostej C,. Przyjmując we wzorze (1) z = (l + f) (jest to punkt leżący na prostej L), otrzymujemy

0")

1 + i + i 1 + i—i

1 + 2/.

Równość (1") oznacza, że punktowi z = (1 +/) prostej L odpowiada na prostej L_x punkt £ = (1+2/). Prowadząc przez punkt £ = (1+2/) równoległą do prostej C_x (rys. 1.34a), otrzymujemy prostą Z.,. W konsekwencji funkcja (1) odwzorowuje dany obszar (zakresko-wany na rys. 1.33) na pas pionowy (zakreskowany na rys. 1.34a). Zauważmy następnie, że przekształcenie

(2)    t = jt£

Składając przekształcenia ( odwzorowanie. Oto ona:

Zadanie 11.13. Znaleźć fu okręgami \z— 3| = 9, |z-8| = w punkcie w = 0, przy czym p Rozwiązanie. Zauważtr punktami symetrycznymi jedn kołowy, na który ma być od’ metrii w punkty w_x = 0 oraz które są symetrycznymi jedi Ponieważ środki tych okręgó powinny także leżeć na osi r; Z jednoczesnej symetrii tych dwa równania

odwzorowuje wyżej wspomniany pas pionowy na pas pionowy o szerokości n (rys. 1.34b).

Stosując dalej przekształcenie

(3)    T = e^' t = i z

(1)