6 (50)

123

Pojęcia wstępne

lim lim f_n(t) = lim lim/„(f),

tj. czy istotna jest kolejność, w jakiej dokonuje się przejść granicznych. W lewej stronie równości (3) najpierw przechodzimy do granicy z n, a następnie z t; w prawej najpierw t-+x, a potem n-> oo.

Pokażemy teraz na przykładach, że ogólnie mówiąc przy dwu przejściach granicznych kolejność, w jakiej ich dokonujemy, nie jest obojętna. Następnie pokażemy, że przy nałożeniu dodatkowych warunków kolejność ta może nie mieć znaczenia.

Nasz pierwszy i najprostszy przykład ma postać ciągu podwójnego.

7.2. Przykład, Określmy przy m — 1,2,3,... i n = 1,2,3,...

m

n+m

Wtedy dla ustalonego n lim s_mn = li wobec tego

lim lim s,„„ = 1.

oo

Z drugiej strony, przy dowolnym ustalonym m lim s_mH — 0, a zatem

lim lim s_mn = 0.

7.3. Przykład. Niech

f„(x) =    (* rzeczywiste, n = 0,1,2,...)

i niech

(6)

Ponieważ /„(O) = 0, więc i/(0) = 0. Suma szeregu (6) jest granicą sum postępu geometrycznego i dla x ^ 0 jest równa l+x². Zatem

dla    x = 0,

dla    x 0,

(7)

tak że szereg, którego wyrazami są funkcje ciągłe, może mieć sumę nieciągłą. 7.4. Przykład. Dla m — 1,2,3,... określmy

f_m(x) = lim (cosw!rtx)²",