72604 str058 (5)

58 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

58 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

(9.9)

2.    Punkt z₀ jest biegunem k-krotnym funkcji /(z), jeżeli część główna szeregu Laurenta tej funkcji ma postać

Cl __ |    d — 2    -jj

z-z₀⁺(z-z₀)² + '"⁺(z-z₀)^k’

gdzie «__k ^ 0, tzn. część główna ma skończoną ilość współczynników różnych od zera.

3.    Punkt z₀ jest punktem istotnie osobliwym funkcji /(z), jeżeli część główna szeregu Laurenta tej funkcji zawiera nieskończenie wiele wyrazów różnych od zera.

Klasyfikację punktów osobliwych odosobnionych funkcji /(z) można również przeprowadzić bez rozwijania jej na szereg Laurenta, słuszne są bowiem trzy następujące twierdzenia :

Twierdzenie 1. Jeżeli lim/(z) = g, gdzie g jest liczbą skończoną, to punkt z₀ jest punktem

z-fza

pozornie osobliwym funkcji /(z).

Twierdzenie 2. Jeżeli lim/(z) = oo, to punkt z₀ jest biegunem funkcji /(z).

Z~+ZQ

Definicja 5. Mówimy, że punkt z₀ jest zerem k-krotnym funkcji /(z), jeżeli daje się ona przedstawić w postaci f(z) = (z — z₀)^kę(z), gdzie <p(z₀) # 0.

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja /(z) nie dąży do żadnej granicy (skończonej ani nieskończonej), gdy z-+z₀, to punkt z₀ jest punktem istotnie osobliwym funkcji f(z).

Zauważmy jeszcze, że jeżeli z₀ jest biegunem k-krotnym funkcji /(z), to dla funkcji l//(z) jest on zerem k-krotnym i odwrotnie, jeżeli z₀ jest zerem k-krotnym funkcji (z), to dla funkcji 1 jg{z) jest on biegunem k-krotnym.

Aby otrzymać rozwinięcie funkcji /(z) holomorficznej w otoczeniu pierścieniowym punktu oo (czyli dla J?<|z|<oo) w szereg Laurenta, podstawiamy z = l/£ i rozwijamy w szereg Laurenta funkcję <p(Q = /(1/Q w otoczeniu pierścieniowym punktu £ = 0 (czyli dla 0<|£|<1//?), następnie wracamy do zmiennej z, otrzymując żądane rozwinięcie. Z twierdzenia Laurenta wynika, że rozwinięcie w szereg Laurenta funkcji /(z) w otoczeniu punktu oo, czyli dla /?<|z|<oo, ma postać

00    00

(9.8)    /(z)    =    ^    a_nz".

n = 0    n-1

oo

W zależności od tego, czy szereg £ a„z", zwany częścią główną rozwinięcia (9.8)

n= 1

w otoczeniu pierścieniowym P<|z[<oo, jest równy zeru, czy ma skończoną ilość wyrazów różnych od zera, czy też ma nieskończenie wiele wyrazów różnych od zera, punkt z = oo nazywamy odpowiednio punktem pozornie osobliwym, biegunem lub punktem istotnie osobliwym funkcji /(z). I tak funkcja /(z) mająca w oo punkt pozornie osobliwy daje się w pewnym otoczeniu pierścieniowym tego punktu przedstawić jednym szeregiem postaci

ći _ 1 Cl _ 2

/(z) = «0"l----1--2" ■*"•••

Z z

Przyjmując lim /(z) = a₀ =

Z-+CO

ności. Jeżeli w szczególności

I

(9.10)    /(z)

i punkt oo nazywamy zerem jed k-krotny, to jej rozwinięcie w

(9.11)    /(zO

1

Część główna rozwinięcia (9.1

cja /(z) ma w oo punkt istotnie i

00

przy czym część główna

n= 1

Zadania przykładowe

Zadanie 9.1. Znaleźć obsz

gdzie

.    f2^-" dla n^O,

^{a) a,,-}{l    dla n<0,

f— dla n^O,

b)    a_n = hr

U” dla n< 0. Rozwiązanie, a) Część rem (9.3) mamy

O)

Część główna jest szeregiem (2)

Z uwagi na wzory (1) i (2) < (3)

Aby znaleźć sumę /(z) dam

/,(z) =