73583 stat Page resize

6

1 Podstawowe* miary stystyc/.m*. . .

Inną miarą przeciętną pozycyjną jest mediana. Jest to taka wartość cechy, która dzieli zbiór obserwacji na połowę (tzn. 50% danych ma wartości mniejsze lub równe medianie)

_Me    gdy n jest nieparzyste    ^ ^

\ 5 (*? + * J+i) ( S^dy ⁿ J^est parzyste

Mediana jest w większym stopniu niż średnia odporna na obserwacje odstające (obserwacje o wartościach znacznie odbiegających od pozostałych, np. zbyt małe lub zbyt duże w porównaniu do reszty obserwacji, w j. ang. zwane outtiers). Wadą mediany jest to, że przy jej obliczaniu nie są brane pod uwagę wszystkie obserwacje, a jedynie ich porządek, oraz jedna lub dwie „środkowe” obserwacje.

Mediana jest szczególnym przypadkiem innej miary położenia - kwartyla. Kwartyle dzielą zbiór obserwowanych wartości cechy statystycznej na ćwiartki. Mamy zatem pierwszy kwartyl (lub dolny kwartyl, 25% obserwacji) Q\, drugi kwartyl (medianę, 50% obserwacji) = Me i trzeci kwartyl (górny kwartyl, 75% obserwacji) Qz\

(*T + *V+0

“i*+0,5

gdy n|4 gdy n + 3|4 gdy n + 2|4 gdy n+ 1|4

(1.3)

gdzie odpowiednio m 1,3 dla Qi

Uogólnieniem kwartyli są kwantyle, które dzielą zbiór obserwacji na określone części (np. dla kwantyla o rzędzie 0,95 otrzymujemy taką wartość cechy, dla której 95% obserwacji ma wartości od niej mniejsze lub równe). Czasami wykorzystuje się też pojęcie percentyla, przy podawaniu miejsca podziału w procentach, a nie w postaci ułamka (np. percentyl 95% odpowiada kwantylowi 0,95).

Jeśli w zbiorze obserwacji jedna wartość występuje najczęściej, to nazywamy ją wartością modalną (lub modą, dominantą) i oznaczamy przez D.

Uwaga! Zazwyczaj przyjmuje się, że jeśli kilka wartości obserwowanej cechy występuje tak samo często, ale częściej niż inne wartości, to dominanta nie jest wtedy określona. W niektórych podręcznikach przyjmuje się jednak inną umowę i w takich przypadkach definiuje kilka wartości modalnych.

1.3.2 Miary zmienności (rozrzutu)

Miary zmienności (rozrzutu) informują o zmienności (zróżnicowaniu) obserwacji w szeregu statystycznym.

Najważniejszą z nich jest wariancja, podająca średnią kwadratów różnic (odchyleń) pomiędzy poszczególnymi obserwacjami a średnią:

s²=    .    (1.4)

Uwaga! Wzór ten obowiązuje dla sytuacji, gdy posiadane przez nas dane (obserwacje z szeregu statystycznego) opisują całą rozpatrywaną populację (wariancja populacyjna). Jeśli nasze obserwacje obejmują tylko część przypadków