86848 stat Page3 resize

33

Statystyka matematyczna

nazywamy wiarygodnością.

Uwaga! Wiarygodność jest to właściwie to samo, co łączna gęstość /$(.) dla całej naszej próby. Inna nazwa ma podkreślać, iż interesujemy' się tym razem funkcją pewnego parametru 9, za to przy ustalonych (bo przez nas już zaobserwowanych) wartościach próby xi, X2>..., x_n.

Definicja 3.24. Powiemy, że 9 = 9(Xi,... ,X_n) jest estymatorem największej wiarygodności parametru 9. jeśli funkcja wiarygodności przyjmuje swoje maksimum w punkcie 9, tzn.

L(9) = sup L(9) .    (3.45)

oee

Symbolicznie to, że 9 jest estymatorem największej wiarygodności parametru 9, zapisujemy 9 = ENW(0). Ponadto z definicji przyjmujemy, że jeśli rozważ żamy estymator g(9) dla jakiejś znanej nam funkcji <?(.), to bezpośrednio mamy ENW (g(9)) =g(9).

Przykład 3.25. Znajdź estymator największej wiarygodności parametru A w rozkładzie wykładniczym.

Rozwiązanie: Załóżmy, że Xj, ..., X_n jest próbą z rozkładu wykładniczego Exp(0). Wtedy gęstość łączna (i jednocześnie wiarygodność) dana jest wzorem

L(0)    0ⁿ exp    x(j j    (3.46)

Zauważmy, że wiarygodność L(9) osiąga maksimum w tym samym punkcie, co jej łogarytm. Zatem

t($) =lnL($) = nln6-e *(,	(3.47)
a przyrównując pochodną do zera otrzymujemy
o II « 1 £ l<fc II	(3.48)
co daje
^9 eLi*< *■	(3.49)
czyli estymator identyczny jak w metodzie momentów.	O

W wielu przypadkach zastosowanie zamiast funkcji wiarygodności L(9) jej logartymu 1(9) ułatwia znajdowanie maksimum, nie jest to jednak niezbędne. W przypadku wielu parametrów 9 opisujących przestrzeń © w celu znalezienia ENW należy oczywiście wykorzystać rachunek różniczkowy i pochodne cząstkowe.

Przykład 3.26. Jak pamiętamy, zmienna losowa X pochodzi z rozkładu normalnego (co zapisujemy X ~ N(fi_>cr²)), jeśli gęstość fx(-) j^st równa

= ⁽³-⁵⁰⁾

gdzie o > 0. Mamy zatem dwa parametry opisujące rodzinę rozkładów normalnych: p i o. Znajdź ENW dla obu tych parametrów.