75971 MATEMATYKA039

70 II. Ciiłgi i szeregi licztmwe

bieżny odpowiednio do ±oo i zapisujemy również £a_n = ±*>.

»»i

^x » i    t\

Przypomnijmy, żc szereg geometryczny Laq" . gdy 3^ U,

n»l

jest zbieżny jedynie dla |q|< 1 i jego suma S =

I*r'=7~ ^(lla w*i-

u* i    ^

PRZYKIAD2.I Zbadamy zbieżność szeregów:

a) j^n, b)±U ^C)X(“0"

n-l    n=1    n-l

Dla każdego z łych szeregów obliczymy n-tą sumę częściową S_n. a następnie granicę ciągu (S_fl).

a)Ponicważ dla szeregu £^{n =} l ⁺ 2 + 3-i— mamy:

n-l

S_r = l + 2 + ••• + n = —— , limS_n = litr/” ^ — = +⁰⁰*

n-*-»    n-*»    2

więc szereg ten jest rozbieżny do +oc, czyli L^{n =} +«>.

n-l

b) Dla szeregu £ I * 1 +1 + 1⁺ * mamy:

n*i

S_n * 1 +'••• +1« n, limS_*limn = +oo.

n*l

Badany szereg jest rozbieżny do +«>» czyli LI *

c) Ponieważ

S _2n = 1-+-1 — -ł-1 — I-t-I = 0,

więc ciąg (SJ nie ma granicy. Oznacza to, źe badany s/creg jest rozbieżny.

PRZYKŁAD2.2 Zbadamy zbieżność szeregu V- ...

1

_n-i n( n +1)

W tym celu obliczymy n-tą sumę częściową tego szeregu:

—, n - 1,2.....

n(n +1)

I

Ponieważ każdy składnik tej sumy możemy zapisać w postaci

_L_._al J- _k«|₂

k<k t 1) k k + f ......

więc

“(i ")'+(*■ ““)⁺*^,,+<—“i'-■“)+(“■—r7^⁼¹ ~t-2    2 3    n — l ii n n +1 n +1

Stąd lirnS.. - limH----)-l. Ciąg (S.) sum częściowych jest zbieżny

n-**    «-»■». n 4- I

i jego granica jest równa I. zatem badany szereg jest zbieżny i jego suma

/» »

_nf,n(n + l)

PRZYKŁAD 2.3 Wykażemy rozbieżność szeregu:

jest równa 1, co zapisujemy £-

+ - + -2 3

27“'

Przypuśćmy, że szereg ten jest zbieżny, a jego suma jest równa S. /.ulem ciąg (S„) sum częściowych oraz jego podciąg (S_2n) są zbieżne do tej samej granicy S. Stąd

l‘^m($_2n -S_n)-0.

n-*»

Ponieważ dla każdego n eN

»2n“^sn "O ⁺ 2^{+ ,,,,f}2n⁾"^{<l +} 2⁺”' ⁺ *¹⁾”

\_

n

II    III

~---h—h—>n—,

n + l n + 2 2n 2n 2

więc ciąg (S_2ll-S_tl) nic może mieć granicy równej 0. Sprzeczność ta

* 1

oznacza, że przypuszczenie nasze było fałszywe. Zatem szereg £ jest

n*l tl

rozbieżny. Stąd oraz z warunku a„>0 wynika, że szereg ten jest rozbieżny do +oo.    ®