CCF20091202034

tamtej operacji. Najbardziej sensowne jest jednak powołanie się na względy praktyczne. Przy omawianiu krzywej normalnej zobaczymy, jak wygodne jest operowanie odchyleniem standardowym tak właśnie zdefiniowanym. Dla innych celów wykorzystuje się kwadrat odchylenia standardowego, czyli wariancję:

i

Wariancja — s² —    ——-

Matematycy stwierdzili, że pojęcie wariancji jest jeszcze ważniejsze teoretycznie niż pojęcie odchylenia standardowego. Począwszy od rozdziału 16 będziemy się też coraz częściej posługiwali wariancją, obecnie jednak zajmiemy się tylko odchyleniem standardowym. Oba te pojęcia są zresztą łatwo wymienne i bez trudu można przechodzić od jednego do drugiego. Nie jest zaś istotne, czy definiujemy odchylenie standardowe jako pierwiastek z wariancji, czy wariancję jako kwadrat odchylenia standardowego.

Obliczanie odchylenia standardowego z danych niepogrupowanych.

Odchylenie standardowe można obliczyć ze wzorów podanych wyżej, często jednak prostsze jest wykorzystanie wzorów obliczeniowych, które pozwalają uniknąć odejmowania średniej od każdego pomiaru. Średnia nie jest zwykle liczbą całkowitą, a co więcej przy posługiwaniu się wzorem 6.3 popełniamy zwykle błędy zaokrągleń. Zobaczmy, jak można uprościć obliczenia. W tym celu rozwijamy wyrażenie podpierwiastkowe:

Z (Xi—Xy Z (xf-2x_tX+ X*)

i-1_ _    1-1______

N    N

Z Xf-2X Z X_i+NX*

_ j-i_{-i__

N

Pamiętajmy, że X jest stałą i dlatego można ją wynieść przed znak sumy w drugim składniku liczebnika. W trzecim składniku wykorzystaliśmy fakt, że dla każdego stałego k

N

Z,k— Nk

i-l

i=i

/-i

A

A

(6-6)²

(6.7)

Można posługiwać się każdym z tych wzorów, polecamy jednak szczególnie równanie (6.7), gdyż daje ono najmniej błędów zaokrągleń.

Obliczmy przy pomocy równania (6.7) odchylenie standardowe dla

pomiarów już cytowanych. Mamy A— 5.

(6.5)

N

'Z xf

1-1

A

-X*

(6.4)

N

N

Z*?    z xt

'“^l    -2X²+X^a = -^--

A

A

/=i

Ponieważ jednak

* = I XJN,

środkowy składnik redukuje się do — 2X² i możemy napisać

a więc

Alternatywne wzory obliczeniowe są następujące:

N    IN

' Z    IZ x_t

X,    xf

,r    72    5184

81    6561

86    7396

69    4761

57    3249

365    27151

³ Wyprowadzenie wzorów (6.6) i (6.7) z (6.5) pozostawiamy czytelnikowi jako zadanie.

85