223 2

223

6.4. Metoda siecznych

błędów- (§

6.4.2) wynika jednak, że meteda siecznych daje zazwyczaj ciąg laki, że |x_n-«-**(• Dokładniejsza analiza pokazuje, źe dominujący wpływ na błąd względny — __wK1 /j_n ma błąd wartości /(x„): zla dokładność innych obliczeń jest mniej ważna. ^? Zauważmy jednak, że jeśli wzór (6.4.1) przepisze się w postaci

^x»⁺ⁱ    (—f    '

Jm—Jm-1

to pojawią się trudności związane ze znoszeniem się składników, gdy ijjgiDlatego nic należy korzystać z tej nowej postaci. Można mieć wiele kłopotów, jeśli w programie przeoczy się takie szczegóły.

Wybór między metodą siecznych i metodą Newtona zależy od kosztu obliczania wartości / (x). Przypuśćmy, że przewyższa on 0 razy koszt obliczenia /(x). Wtedy analiza asymptotyczna uzasadnia następującą regułę: jeśli 0>O.44, to należy używać metody siecznych, a w przeciwnym razie — metody Newtona.

6.4.2. Analiza błędów dla metody siecznych

Wyprowadzimy teraz wzór asymptotyczny łączący błędy kolejnych przybliżeń tworzonych metodą siecznych. Zgodnie z wzorem interpolacyjnym Newtona z resztą (§ 7.3.3) mamy równość

\6.4.2)    /ł»=A+(x-xJ/[^__J, xj+±(*-x_ll_₁)(x-x.)/m

gdre

»•*.]=——    i £ eint(x, x_Jł__l,x_(t).

x„-x_łI_,

Pomijając tu resztę, otrzymujemy równanie siecznej. Tak więc x_n+, spełnia równanie 0—/,+(x_J1+l-x_IT)/[x_fl__l, x J.

f&Mawmy terazx—y. w (6.4.2) i odejmijmy stronami ostatnie równanie. Ponieważ/(a)=0, ^wtęc otrzymujemy związek

(*-*•+ j)/ O,- X»X J+-x_a_ t)(a - xj/"(ć)=0 godnie- z twierdzeniem o wartości średniej,

/O.-i,x_n]=/'(D. gdzie ^'eint(x„_, ,*„)

’ Wny równość

<6.4.3)    no

o⁸-:-¹-

¹ n^’ ** metoda siecznych jest zbieżna dla dostatecznie dobrych przybliżeń x₀ i Xj, jeśli /'(«)#0 i jeśli f(x) ma drugą pochodną ciągłą. Zauważmy, że j)]_a    ^{t0 wz}ćr na jeden krok metody siecznych przekształca się w podobny wzór

^tody Newtona i znów otrzymujemy związek (6.3.2).