234 2

234

6. Równania nieliniowe

młjmy /ł,=A(*«) » załóżmy, że (6.6.2)    1X4,1 < md. gdzie

A*>

/'<*>

dla

x e int(x_B, a).

Wtedy dla x_n+L=x_M+h„- S„ mamy oszacowanie błędu (6.6.1), gdzie d jest oszacowaniem z góry dla modułu błędu obliczeń S_n wielkości h_u.

Przyklap 6.6.2. W przykładzie 6.3.1 metoda Newtona dla funkcji f(x)—sin.ę—(^)2 dała wynik

x₃= 1.93393, fc₃= -0.00018±ł • 10*⁵ .

Ponieważ /'(.v)=cosx—kx, /"(*)— — smx—więc

dla x eint(x₄. ot). |/"(x)|<$.

Stąd \Khi\ 1.85-10-*<3-10”⁴ i

._    . 3* l()“⁴-18’ 10^-5 + 4-10"⁵

-|_₃._i0-4--<0-506-I*)'

Widzimy też, żc błąd obcięcia nic jest istotny w porównaniu z błędem zaokrąglenia wartości h).

6.6.2. Osiągalna dokładność. Kryteria zakończenia

Niech x_n będzie przybliżeniem pierwiastka pojedynczego równania /(x)- 0. Z twierdzenia o wartości średniej wynika więc, że

f(x_n)=(x_H-x)f'(0. gdzie <*eint(x_rt, ct)=J.

Otrzymujemy stąd oszacowanie błędu niezależne od metody:

(6.6.3)    gdzie |/'(x)f>M, dla xeJ.

Niech f(xj oznac/;t obliczoną wartość funkcji i niech będzie

7(xJ=/(x₁,) +ó(xj.

gdzie |5(a*) dla każdego v. Wielkość 3 ogranicza dokładność, z jaką można obliczyć *• W najlepszym razie możemy znaleźć x_n takie, żc/(x„)^0. Wtedy dokładna wartość .spełnia nierówność j/(x,)|««$. Przyjmując, że f‘(x) nie zmienia się zbyt gwałtownie n Pobliżu x=oc_t otrzymujemy z (6.6.3), że

(6.6.4)    |^—«|<—gdzie

Najlepszym oszacowan-em błędu dla dowolnej metody jest więc r_d; nazywamy tę Wielość