236 2

236

6. Równania nieliniowe

to wiemy, że począwszy od pewnego n różnice I*,—maleją aż do    tyted

zaś przeważają błędy zaokrąglenia i tc różnice zmieniają się nieregularnie. Możemy ^ kończyć iteracje i uznać x_n za pierwiastek, gdy jednocześnie są spełnione poniższe du« warunlri:

(6.6.6)    |x._{+ 1}-jc.|>|x.-x_1i_,| i |x_(l-.x,_l__ł|<3.

ó jest tu pewną grubą tolerancją, używaną wyłącznie po to, aby zapobiec przerwaniu iteracji przedwcześnie, zanim x„ zbliży się do t. Jeśli warunki (6.6.6) są spełnione, to wielkość |x„_+l-x.| jest zwykle dobrym oszacowaniem dla    Gdy stosuje się to kryterium

(pamiętajmy o założeniu, żc metoda jest zbieżna szybciej niż łiniewo), wtedy małe jest ryzyko niezakończenia iteracji dla pierwiastków żle uwarunkowanych (e„ duże) łub rezygnacji z osiągalnej dokładności dla pierwiastków dobrze uwarunkowanych.

Zadania

1.    Zastosować metodę iteracyjną do wyznaczenia z pięcioma poprawnymi cyframi ułamkowymi pierwiastków następujących równań:

(a) 3x—cosx=0,    (b) 3x²*f tg.r= 0.

2.    Zamierza się wyznaczyć pierwiastek równania x=/p(x) z błędem mniejszym od 0.5* 10—\ Obliczono już, że

x*=0.43789, x₅ = 0.43814

i wiadomo, że |^'(a:)|^0.4. Ile jeszcze iteracji trzeba wykonać, aby być pewnym osiągnięcia żądanej dokładności?

3.    Napisać w Algolu procedurę o opisie procedurę JT(x0, Fjc\, eps)‘_r realxO, xl, eps;... lub podprogram w Fortranie, które by rozwiązywały równanie x=F(x) metodą iteracyjną x_n+_l=F(x„). Przy tym .v0 jest przybliżeniem początkowym, a — zaakceptowanym pierwiastkiem. Ttcracjc należy kończyć, gdy gdzie m szacuje się za pomocą wyrażenia

X_B--l

6.7. Pierwiastki wielokroć⁰

Rozważając metodę Newtona i metodę siecznych zakładaliśmy, żc szukany pierwiastek jest pojedynczy. Ogólnie, pierwiastek a równania /(x)=0 nazywamy Ą-krotnym, jeśli

(6.7.1)

0<|^(a)|<oc> gdzie $ (*)«(*-a)~Y<x).