242 (34)

466 Uzupełnienia

Tabela U1.2. Macierze przekształceń dla wybranych operacji symetrii

E ->		'10 0' 0 1 0 0 0 1				cos(27r/n) sin(27r/n) 0 — sin(27r/n) cos(27r/n) 0 0 0 1
i —	'-l 0 0 0-1 0 0 0 -1			-		cos(27r/n) sin(27r/n) 0 — sin(27r/n) cos(27r/n) 0 0 0 -1
o\,		'10 0 ' 0 1 0 0 0 -1			uv —> 0 - kąt mię		■ cos (26*) sin (20) ()' sin (20) -cos(20) 0 0 0 1 dzy <jv a osią x

Tabela U 1.3. Reprezentacje grupy, do której należy cząsteczka NH₃

	E	<T„	(Tb	(Tc.		Cp
n	1	1	1	1	1	1
F‘2	1	-1	-1	-1	1	1

/ 1 0 \ / -1 0 \ / a -b \ (a b\ ( ~a b W -a -b \

y 0 1 / \ 0 1/ \    ~^a ) \ b —a J \ -b —a J \ b —a )

zentacja pełnosymetryczna występuje więc w każdej grupie symetrii. Elementy reprezentacji 12 i i"a też spełniają reguły składania ujęte w tabeli U 1.1.

Z dowolnych dwóch reprezentacji F_r i J) o wymiarach l, i l., można zbudować now'ą reprezentację F o wymiarze U + lj. Na przykład elementem reprezentacji F = F‘2 + I3 odpowiadającym symetrii a,, jest

Posługując się regułami mnożenia macierzy można łatwo się przekonać, że macierze reprezentacji r mnożą się zgodnie z tą samą tabelą mnożenia grupowego (tab. U 1.1) co macierze reprezentacji F2 i J3, a zatem F jest istotnie reprezentacją tej samej grupy symetrii.

Możliwość dodawania reprezentacji i tworzenia w ten sposób nowych reprezentacji prowadzi do wniosku, że dla każdej grupy symetrii można podać nieskończenie wiele reprezentacji. Okazuje się jednak, że dla każdej grupy symetrii istnieje kilka prostych reprezentacji, które odgrywają wyróżnioną rolę. Te wyróżnione reprezentacje, które nie dają się rozłożyć na reprezentacje prostsze, nazywamy reprezentacjami nieprzywiedlnymi (nieredukowalnymi), a reprezentacje dające się rozłożyć - przywiedlnymi (redukowalnymi). W zastosowaniach teorii grup nie jest potrzebna znajomość macierzy tworzących reprezentację. Wystarczy znać tylko ślady tych macierzy, czyli sumy ich elementów diagonalnych. Ślady macierzy tworzących reprezentację nazywamy w teorii grup charakterami. Charaktery oznaczamy symbolem x>(R)< gdzie wskaźnik i określa reprezentację (77), a R element symetrii. Charaktery dla trzech znanych nam reprezentacji rozpatrywanej grupy symetrii podane są w tabeli li 1.4.

Tabela Ul.4. Charaktery trzech reprezentacji grupy symetrii, do której należy cząsteczka NH₃

	E	<7 a	<J\,			^1
A	1	1	1	1	1	1
A	1	-1	-1	-1	1	1
A	2	0	0	0	-1	-1

Widzimy, że dla określonej reprezentacji charaktery przyporządkowane wszystkim elementom należącym do tej samej klasy są jednakowe. W książkach z teorii grup⁰ podawany jest dowód prawdziwości tego wniosku i dlatego w tabelach charakterów podaje się charaktery tylko dla klas, a nie dla wszystkich elementów symetrii.

D. Podstawowe twierdzenia

Poznane pojęcia klasy, reprezentacji i charakteru umożliwiają sformułowanie kilku twierdzeń, z których będziemy korzystać. Podajemy te twierdzenia bez dowodów. Dowody tych twierdzeń można znaleźć w każdym podręczniku teorii grup.

Twierdzenie I - wielkie twierdzenie o ortogonalności.

Dla reprezentacji nieprzywiedlnych jest słuszne równanie

E M. t^rj(^R)Lw =    (Ul.12)

R

gdzie: Jj i Ej są macierzami reprezentacji nieprzywiedlnych, i i j, wskaźniki in, n oznaczają elementy macierzy związanych z operacją symetrii R, n, jest wymiarem reprezentacji nieprzywiedlnej i, sumowanie przebiega po wszystkich

!)

Cotton F. A.: Teoria grup. Zastosowania w chemii. Warszawa, PWN 1973.